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Applications des mathématiques Cinématique Première partie: Vitesse et accéléra

Applications des mathématiques Cinématique Première partie: Vitesse et accélération instantanées dans l'espace Mouvement rectiligne uniforme Mouvement uniformément accéléré x z v0 ⟶ v1 ⟶ v2 ⟶ a → a → α Version pour Mathematica Edition 2017 Marcel Délèze https://www.deleze.name/marcel/sec2/applmaths/csud/index.html Printed by Wolfram Mathematica Student Edition Introduction Mécanique La mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvements des objets matériels. On peut l'aborder selon deux points de vue : la cinématique et la dynamique. Cinématique La cinématique se contente de décrire le mouvement du point de vue géométrique : position, vitesse, accélération, trajectoire, courbure, ... Elle se subdivise en "cinématique du point matériel" et "cinématique des corps étendus". Dans ce dernier cas, elle considère aussi les mouvements du corps autour du centre de gravité (rotation , ...). Dynamique La dynamique s'intéresse aux causes du mouvement : elle lie le mouvement aux forces qui le régissent. Elle énonce et utilise les lois du mouvement telles que la loi de Newton, la variation de l'énergie cinétique, etc. Histoire Les notions fondamentales de la mécanique classique, le calcul de dérivées et les lois de la mécanique classique, ont été introduites par Leibniz et Newton dans la deuxième partie du XVII- ème siècle. Cette science s'est beaucoup développée au XVIII-ème siècle, en particulier avec Lagrange. Elle est aussi appelée mécanique analytique. § 1 Notions de base § 1.1 Horaire Position et vecteur-position (ou vecteur-lieu) L'espace étant muni d'un repère orthonormé (O, i → , j → , k → ), la position du mobile est définie par ses coordonnées P(x, y, z). 2 1-cinematique.nb Printed by Wolfram Mathematica Student Edition De manière équivalente, on peut considérer le vecteur-position défini par ses trois composantes (voir Formulaires et tables p. 127) r →= OP = x i → + y j → + z k →= x y z Horaire L'horaire des chemins de fer indique, pour certaines heures, la position correspondante : 12 h 03 ↦Lausanne 12 h 42 ↦Genève Par analogie, nous appelons horaire la fonction qui, à chaque instant, donne le vecteur-position r →(t) correspondant. Il s'agit d'une fonction vectorielle : t ↦r →(t) = x (t) y (t) z (t) Pour définir un mouvement dans l'espace, il faut donner trois fonctions scalaires x(t), y(t), z(t). Trajectoire La voie de chemin de fer définit la trajectoire du train. Plus généralement, la trajectoire est l'ensem- ble des points par lesquels passe le mobile. La trajectoire est un objet plus pauvre que l'horaire car il ne fait aucune référence au temps. Déplacement Durant l'intervalle de temps [t1, t2], le mobile est passé de la position P(t1) à la position P(t2) 1-cinematique.nb 3 Printed by Wolfram Mathematica Student Edition Le mobile a donc effectué le déplacement (voir Formulaires et tables p. 127) Δ r →= P (t1) P (t2) = P (t1) O + O P (t2) = O P (t2) - O P (t1) = r →(t2) - r →(t1) = x (t2) - x (t1) y (t2) - y (t1) z (t2) - z (t1) = Δx Δy Δz Le signe de chaque composante du déplacement a une interprétation immédiate : si Δx>0 alors x augmente si Δx<0 alors x diminue On a des règles semblables pour les signes de Δy et Δz. Remarquez que le déplacement est un vecteur qui n'épouse pas nécessairement la trajectoire. On peut comparer le déplacement à la "sécante" telle qu'elle apparaît dans la définition de la dérivée. § 1.2 Vitesse Dérivée d'une fonction (rappels de mathématiques) On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points (x, f(x)) et (x+h, f(x+h)). Sa pente est f (x + h) - f (x) h 4 1-cinematique.nb Printed by Wolfram Mathematica Student Edition x+h x f(x+h) f(x) pente=f′(x) pente= f (x + h) - f (x) h Lorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f en x. La pente de cette tangente est appelée "dérivée de f en x" (voir Formulaires et tables p. 76) f' (x) = lim h→0 f (x + h) - f (x) h Autre notation (inspirée de Δf Δx pour Δx→0) df dx = f′ Rappelons la propriété si f ′(x) ≥0 sur [a, b] alors f(x) est croissante sur [a, b]. En cinématique, la variable est généralement le temps. f' (t) = lim Δt→0 f (t + Δt) - f (t) Δt En physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps, on remplace l'apostrophe par un point, ce qui donne f  (t) = lim Δt→0 f (t + Δt) - f (t) Δt Autre notation (inspirée de Δf Δt pour Δt→0) df dt = f  Vitesse moyenne sur un intervalle de temps La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [t1, t2] est égale au déplacement par unité de temps, c'est-à-dire (voir Formulaires et tables p. 128) 1-cinematique.nb 5 Printed by Wolfram Mathematica Student Edition v → m = Δ r → Δt = r →(t2) - r →(t1) t2 - t1 = x (t2)-x (t1) t2-t1 y (t2)-y (t1) t2-t1 z (t2)-z (t1) t2-t1 = Δx Δt Δy Δt Δz Δt Il est important d'assimiler l'idée que la vitesse est un vecteur. En particulier, la vitesse n'est pas représentée par un nombre mais par ses trois composantes. La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [t, t + Δt] s'écrit v → m = Δ r → Δt = r →(t + Δt) - r →(t) Δt = x (t+Δt)-x (t) Δt y (t+Δt)-y (t) Δt z (t+Δt)-z (t) Δt Vitesse instantanée Pour obtenir la vitesse à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de la vitesse moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt] v →(t) = lim Δt→0 Δ r → Δt = limΔt→0 x (t+Δt)-x (t) Δt limΔt→0 y (t+Δt)-y (t) Δt limΔt→0 z (t+Δt)-z (t) Δt = x (t) y (t) z (t) = r →  (t) On obtient un résultat important (voir Formulaires et tables p. 128) La vitesse instantanée d' un mobile est égale à la dérivée de son horaire : v →(t) = r →  (t) Autre notation (inspirée de Δ r → Δt pour Δt→0) d r → dt = v → Cette formule présuppose le complément mathématique suivant : Pour calculer la dérivée d' une fonction vectorielle, on dérive chaque composante : r →  (t) = x (t) y (t) z (t)  = x (t) y (t) z (t) Les composantes du vecteur vitesse instantanée sont notées comme suit v →(t) = vx (t) vy (t) vz (t) Le résultat encadré ci-dessus peut aussi s'écrire en composantes : vx (t) = x (t), vy (t) = y (t), vz (t) = z (t) Le signe de chaque composante de la vitesse obéit à des règles semblables à celles des déplace- ments : si vx (t) > 0 alors l' abscisse x (t) est en augmentation à l' instant t si vx (t) < 0 alors l' abscisse x (t) est en diminution à l' instant t 6 1-cinematique.nb Printed by Wolfram Mathematica Student Edition On a des règles semblables pour les signes de vy(t) et vz(t) . Interprétation géométrique Lorque Δt tend vers 0, le vecteur Δ r → Δt tend vers un vecteur qui est tangent à la trajectoire (voir fig. p. 4 et 7) le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire Pour passer de r →(t) à v →(t), on trace le graphique de la fonction vectorielle r →(t); en chaque point de la courbe, - la direction vecteur vitesse est tangent à la courbe; elle indique la direction du déplacement; - le sens du vecteur vitesse indique le sens du mouvement du mobile; - la norme du vecteur vitesse indique la longueur d'arc parcourue par unité de temps; elle est aussi appelée vitesse linéaire instantanée. Complément mathématique : à partir des composantes, on peut calculer la norme du vecteur vitesse qu'on note simplement v(t) (sans flèche) et qu'on nomme aussi vitesse linéaire instanta- née v (t) = vx 2 (t) + vy 2 (t) + vz 2 (t) ou v (t) = v →(t).v →(t) Dans cette dernière formule, le point désigne le produit scalaire. Le carré scalaire est égal au carré de la norme (voir Formulaires et tables p. 48 et 49). § 1.3 Accélération Variation de vitesse 1-cinematique.nb 7 Printed by Wolfram Mathematica Student Edition Durant l'intervalle de temps [t1, t2], le mobile est passé de la vitesse v →(t1) à la vitesse v →(t2). La variation de vitesse sur l'intervalle de temps [t1, t2] est Δ v →= v →(t2) - v →(t1) = vx (t2) - vx (t1) vy (t2) - vy (t1) vz (t2) - vz (t1) = Δvx Δvy Δvz Le signe de chaque composante du déplacement a une interprétation immédiate : si Δvx > 0 alors la première composante vx de la vitesse augmente si Δvx < 0 alors la première composante vx de la vitesse diminue On a des règles semblables pour les signes de Δvy et Δvz. Accélération moyenne sur uploads/Litterature/ 1-cinematique.pdf