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PRESSES DE L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC Le Delta I, 2875, boulevard Laurier, bureau 4

PRESSES DE L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC Le Delta I, 2875, boulevard Laurier, bureau 450 Sainte-Foy (Québec) G I V 2M2 Téléphone : (418) 657-4399 • Télécopieur : (418) 657-2096 Courriel : puq@puq.uquebec.ca • Internet : www.puq.uquebec.ca Distribution : CANADA et autres pays DISTRIBUTION DE LIVRES UNIVERS S.E.N.C. 845, rue Marie-Victorin, Saint-Nicolas (Québec) G7A 3S8 Téléphone : (418) 831-7474 /1-800-859-7474 • Télécopieur : (418) 831-4021 FRANCE SUISSE DIFFUSION DE L'ÉDITION QUÉBÉCOISE SERVIDIS SA 30, rue Gay-Lussac, 75005 Paris, France 5, rue des Chaudronniers, CH-1211 Genève 3, Suisse Téléphone : 33 1 43 54 49 02 Téléphone : 022 960 95 25 Télécopieur: 33 1 43 54 39 15 Télécopieur: 022 776 35 27 La Loi sur le droit d'auteur interdit la reproduction des oeuvres sans autorisation des titulaires de droits. Or, la photocopie non autorisée — le « photocopillage » — s'est généralisée, provoquant une baisse des ventes de livres et compromettant la rédaction et la production de nouveaux ouvrages par des professionnels. L'objet du logo apparaissant ci- contre est d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de l'écrit le développement massif du «photocopillage ». Corina Reischer Raymond Leblanc Bruno Rémillard Denis Larocque 2002 Presses de l'Université du Québec Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bur. 450 Sainte-Foy (Québec) Canada G1V 2M2 Données de catalogage avant publication (Canada) Vedette principale au titre : Théories des probabilités ; problèmes et solutions ISBN 2-7605-1197-9 1. Probabilités – Problèmes et exercices. 2. Statistique mathématique – Problèmes et exercices. 3. Variables aléatoires – Problèmes et exercices. 4. Probabilités. I. Reischer, Corina, 1931- QA273.25.T43 2002 519.2'076 C2002-941248-X Nous reconnaissons l'aide financière du gouvernement du Canada par l'entremise du Programme d'aide au développement de l'industrie de l'édition (PADIÉ) pour nos activités d'édition. Conception graphique de la couverture : RICHARD HODGSON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PUQ 2002 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Tous droits de reproduction, de traduction et d'adaptation réservés © 2002 Presses de l'Université du Québec Dépôt légal – 4e trimestre 2002 Bibliothèque nationale du Québec / Bibliothèque nationale du Canada Imprimé au Canada Table des matières Introduction v Liste de notations vii Alphabet Grec xi I Modèles finis 1 1 Espace fini d'événements 3 1.1 Notions de base - Définitions et propriétés ........................................................3 1.1.1 Expériences aléatoires, épreuves et événements ....................................3 1.1.2 Relations entre les événements ..............................................................4 1.1.3 Evénements contraires ...........................................................................5 1.1.4 Opérations sur les événements ..............................................................5 1.1.5 Espace probabilisable ............................................................................7 1.2 Problèmes et solutions .......................................................................................8 1.3 Problèmes proposés .........................................................................................20 1.4 Indications et réponses .....................................................................................24 2 Espace fini de probabilité 31 2.1 Notions de base - Définitions et propriétés ......................................................31 2.1.1 Définition classique de probabilité ......................................................31 2.1.2 Définition axiomatique de probabilité .................................................33 2.1.3 Espace probabilisé ...............................................................................34 2.1.4 Probabilité conditionnelle ....................................................................34 2.1.5 Événements indépendants ...................................................................35 2.1.6 Formules de calcul ..............................................................................37 ii TABLE DES MATIÈRES 2.1.7 Modèles classiques de probabilité ...................................................... 40 2.2 Problèmes et solutions .................................................................................... 41 2.3 Problèmes proposés ........................................................................................ 91 2.4 Indications et réponses .................................................................................. 105 3 Variables aléatoires 123 3.1 Notions de base — Définitions et propriétés ............................................. 123 3.1.1 Définition d'une variable aléatoire. Loi de probabilité ..................... 123 3.1.2 Fonction de masse et fonction de répartition .................................... 125 3.1.3 Quelques lois de probabilité classiques ............................................ 130 3.1.4 Variables aléatoires indépendantes ................................................... 132 3.1.5 Opérations sur des variables aléatoires ............................................. 132 3.1.6 Valeurs typiques d'une variable aléatoire ......................................... 136 3.1.7 Couple de variables aléatoires .......................................................... 139 3.1.8 Fonction de répartition d'un couple aléatoire .................................... 141 3.1.9 Covariance et coefficient de corrélation ........................................... 145 3.1.10 Inégalité de Tchebychev ................................................................. 148 3.2 Problèmes et solutions ............................................................................... 149 3.3 Problèmes proposés ................................................................................... 217 3.4 Indications et réponses .............................................................................. 233 II Modèles infinis 253 4 Espace de probabilité 255 4.1 Notions de base — Définitions et propriétés ................................................ 255 4.1.1 s-algèbres et espaces probabilisables ................................................ 255 4.1.2 Probabilités et espaces probabilisés .................................................. 257 4.1.3 Mesures ............................................................................................ 260 4.2 Problèmes et solutions .................................................................................. 261 5 Variables aléatoires et lois de probabilités 281 5.1 Notions de base — Définitions et propriétés ............................................... 281 5.1.1 Variables aléatoires .......................................................................... 281 5.1.2 Lois de probabilités .......................................................................... 283 5.1.3 Quelques lois de probabilités discrètes ............................................. 286 5.1.4 Quelques lois de probabilités continues ........................................... 288 5.1.5 Fonctions de répartition .................................................................... 291 TABLE DES MATIÈRES iii 5.1.6 Espérance et moments ....................................................................... 296 5.1.7 Fonctions caractéristiques ................................................................. 303 5.1.8 Formules d'inversion ......................................................................... 305 5.1.9 Fonctions génératrice des moments .................................................. 305 5.2 Problèmes et solutions ................................................................................... 309 A Méthodes d'énumération 431 Tables de la loi normale N (0, 1) 437 Table de la fonction de répartition ....................................................................... 439 Table des quantiles .............................................................................................. 441 Introduction Le livre Théorie des probabilités présente un recueil de problèmes qui constitue une banque importante d'exercices variés pour familiariser les étudiants aux notions de probabilités qui soutiennent la formation des statisticiens, des actuaires et des ingénieurs. Nous estimons que l'apprentissage et la maîtrise des concepts et des notions abstraites que proposent les probabilités passent nécessairement par la résolution de problèmes et par la rédaction détaillée et rigoureuse de solutions. Les auteurs fournissent pour chaque chapitre un cadre succinct présentant et résumant les concepts, les définitions, la théorie et les modèles ainsi que la terminologie nécessaire pour aborder les exercices qui sont généralement présentés par ordre croissant de difficulté. Nous incluons également une liste des principales notations employées dans le milieu scientifique. Chaque chapitre propose une série de problèmes accompagnés des solutions complètes et détaillées. Cette approche propose aux lecteurs des modèles de la démarche à suivre pour résoudre un problème et fournit également des spécimens de présentation des arguments qui constituent une preuve ou une démonstration. Plusieurs chapitres se terminent par une suite de problèmes qui viennent compléter et valider l'assimilation des concepts en invitant le lecteur à résoudre lui-même les exercices. Nous fournissons alors des indications et des réponses pour permettre la vérification des résultats obtenus par les étudiants et ainsi assurer la validité de leur propre démarche. Souvent les problèmes permettent de faire des liens avec d'autres domaines de la connaissance mathématique comme ceux de l'arithmétique, de l'algèbre, de la géométrie, etc.. Le texte se divise en deux grandes parties ce qui permet de traiter les v vi Introduction concepts probabilistes dans le cas des modèles finis séparément de ceux des modèles infinis. Le lecteur peut ainsi mieux gérer son cheminement et adapter l'ouvrage à ses besoins spécifiques et à sa propre connaissance des outils mathématiques employés en probabilité. Le document aborde les grandes lois classiques de la théorie des probabilités et introduit le lecteur aux propriétés fondamentales des modèles et des distributions si souvent utilisées en statistique et en recherche. Les auteurs sont convaincus que ce recueil peut répondre à plusieurs types de besoins tant au niveau collégial qu'universitaire. Les auteurs remercient à deux collègues du département de mathématiques et d'informatique de l'Université du Québec à Trois-Rivières : le professeur Harry White pour ses informations concernant l'histoire des mathématiques et ses conseils concernant l'usage du français, et le professeur Kilani Ghoudi pour sa collaboration et son soutien au niveau de la préparation du manuscrit à l'aide du système TEX employé pour produire ce document. Liste de notations Symbole Usage Signification viii Liste de notations Abréviations standard Signification Liste de notations ix Lettres avec une Signification signification fixe x Liste de notations Alphabet Grec xi Partie I Modèles finis Chapitre 1 Espace fini d'événements 1.1 Notions de base — Définitions et propriétés 1.1.1 Expériences aléatoires, épreuves et événements La théorie des probabilités traite des expériences dont les résultats dépendent du hasard. Dans ce contexte, on parle d'expériences aléatoires ou plus simplement d'expériences. Définition 1. Les différents résultats possibles d'une expérience aléatoire s'appellent les épreuves ou les réalisations de l'expérience. L'ensemble de toutes les réalisations possibles s'appelle l'espace échantillonnal) ou le référentiel, et on le représentera par Ω. Les expériences peuvent avoir un nombre fini ou infini d'épreuves. Par conséquent, l'ensemble Ω peut être fini ou infini. Dans ce chapitre, nous considérons seulement des cas où Ω est fini. Définition 2. On appelle événement aléatoire ou plus simplement événement (rattaché à l'expérience) toute situation qui peut être réalisée par une ou plusieurs épreuves. Un événement aléatoire est donc totalement déterminé par l'ensemble des épreuves par lesquelles l'événement se réalise. On peut donc interpréter ou identifier chaque événement avec un sous-ensemble de Ω de toutes les épreuves de l'expérience. Nous représenterons les événements aléatoires par des lettres majuscules comme A, B, C, E, ... , A1, .. . 3 4 Chapitre 1. Espace fini d'événements et les différentes épreuves ou réalisations d'une expérience par la lettre grecque minuscule ω, comme ω, ω1,..., ωi,... Pour cette raison, si un événement A se réalise par les épreuves ωi, ωi, ..., ωk on le représentera souvent par A = {ωi, ωj, ..., ωk}. Définition 3. Les événements qui sont réalisables par une seule épreuve s'appellent événements élémentaires et correspondent aux singletons, les sous-ensembles comportant un seul élément ; les autres événements s'appellent événements composés, ou simplement événements. Pour des raisons qui deviendront claires par la suite, en liaison avec une expérience, on ajoute aussi les deux uploads/Litterature/ 196-9782760517271.pdf