1 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATION f(x) = 0 CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI

1 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATION f(x) = 0 CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI Ce document destiné à des étudiants de licence explique quelques méthodes permettant de trouver numériquement les zéros de fonctions d’une variable réelle. TABLE DES MATIÈRES 1. Introduction 1 1.1. Préambule 1 1.2. Exemple motivant : équation d’état d’un gaz 2 1.3. Rappels d’analyse 2 1.4. Critère d’arrêt pour la résolution numérique de f(x) = 0 5 2. Méthode de dichotomie 6 2.1. Principe 6 2.2. Etude de la convergence 6 2.3. Test d’arrêt 7 3. Méthode de point fixe 8 3.1. Principe 8 3.2. Point attractif 9 3.3. Point répulsif 11 3.4. Point douteux 12 3.5. Ordre de convergence 14 3.6. Test d’arrêt 15 4. Méthode de Newton 15 4.1. Principe et convergence 15 4.2. Illustration graphique 17 4.3. Méthode de Newton modifiée 18 4.4. Théorème de convergence globale 18 4.5. Test d’arrêt 19 5. Méthode de Lagrange 20 5.1. Principe 20 5.2. Interprétation géométrique 20 5.3. Convergence 21 6. Bibliographie 21 7. Exercices 22 Index 25 1. INTRODUCTION 1.1. Préambule. L’étude générale des fonctions à variables réelles nécessite de temps à autre la résolution d’équations de type f(x) = 0. Autrement dit, nous sommes amenés à trouver les zéros de 1Ce travail a été réalisé à l’occasion d’un projet Tempus, action JEP-31147-2003, impliquant d’une part l’université Paris-Sud, l’université de Lille (USTL) et l’université de Delft (TU Delft) et d’autre part l’université de Monastir (ISM et FSM) et l’université de Sousse (ISITC) 1 2 CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI fonctions non linéaires, c’est-à-dire les valeurs réelles α telles que f(α) = 0, ou, ce qui est équivalent, à résoudre une équation de type g(x) = x. 1.2. Exemple motivant : équation d’état d’un gaz. On veut déterminer le volume V occupé par un gaz de température T et de pression p. L’équation d’état (c’est-à-dire l’équation qui lie p,V et T) est : " p+a N V 2# (V −Nb) = kNT où a et b sont deux coefficients dépendants de la nature du gaz, N le nombre de molécules contenues dans le volume V et k la constante de Boltzmann. Il faut donc résoudre une équation non linéaire d’inconnue V. Ceci revient à trouver les zéros de la fonction : f(V) = " p+a N V 2# (V −Nb)−kNT. Dans le cas le plus général, il s’agit de résoudre une équation non linéaire dont on n’est pas capable de trouver une solution exacte. Dans ce cas, on dispose de quelques méthodes numériques exécutables sur des logiciels comme Matlab, Maple, Scilab pour approximer la solution exacte. Ces méthodes numériques sont toutes basées sur la construction d’une suite (xn)n∈N convergeant vers un réel α vérifiant f(α) = 0. Dans ce document, nous allons traiter quatre méthodes : la méthode de dichotomie, de point fixe, de Newton, et de Lagrange. Pour le faire, nous avons besoin de quelques rappels d’analyse. 1.3. Rappels d’analyse. Une équation de type f(x) = 0 peut être écrite d’une manière équivalente sous la forme de g(x) = x. La fonction g est une fonction dépendante de f non unique comme le montre l’exemple suivant : Exemple 1. Si f(x) = sin(2x)−1+x = 0, la fonction g peut être g(x) = 1−sin(2x), x ∈R ou g(x) = 1 2Arcsin(1−x), 0 ≤x ≤1. Les instructions Matlab suivantes permettent de tracer les représentations graphiques de ces fonc- tions, y compris celle de la droite y = x : Code Matlab 1. x = [0:0.001:1]; f = inline(’sin(2*x)-1 + x’); g1 = inline(’1-sin(2*x)’); g2 = inline(’1/2*(asin(1-x))’); h = inline(’x’); plot(x, f(x), ’--.b’, x, g1(x), ’-.b’, x, g2(x), ’--b’, x, h(x),’b’); legend(’f’, ’y=1-\sin(2x)’, ’y=1/2*(Arcsin(1-x))’, ’y=x’); grid on; ylabel(’y(x)’); xlabel(’x’); RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATION f(x) = 0 3 On voit bien que f admet un unique zéro α ∈[0, 1] et que les graphes des fonctions y = x, y = 1−sin(2x), et y = 1/2(Arcsin(1−x)) se coupent en (α, α). 1.3.1. Point fixe. Définition 1. Un réel l ∈[a, b] est dit point fixe d’une fonction g : [a, b] − →R si g(l) = l 1.3.2. Multiplicité d’une racine, fonction contractante. Définition 2. Soit p un entier et f une fonction p fois dérivable. (1) On dit que α est un zéro de f de multiplicité p si f(α) = f (1)(α) = ... = f (p−1)(α) = 0 et f (p)(α) ̸= 0. (2) Un zéro de multiplicité 1 (respectivement 2) est appelé un zéro simple (respectivement double). Définition 3. Soit k ∈]0, 1[. Une fonction g : [a, b] − →R est dite fonction contractante de rapport k si ∀x, y ∈[a, b], |g(x)−g(y)| ≤k|x−y| Remarque 1. (1) Soit g ∈C 1([a, b]). Si |g′(x)| < 1, ∀x ∈[a, b], alors g est contractante sur [a, b]. (2) Une fonction contractante est continue. 1.3.3. Théorème de point fixe. Théorème 1. Soit g : [a, b] − →[a, b] une fonction contractante de rapport k. Alors g admet un unique point fixe l ∈[a, b]. De plus, pour tout choix de x0 ∈[a, b], la suite définie par xn+1 = g(xn), ∀n ≥0 converge vers l quand n − →+∞. Preuve 1. Etape 1 : Existence de l et convergence de la suite Remarquons d’abord que g([a, b]) ⊂[a, b] ce qui implique que la suite (xn) est bien définie. Soit x0 dans [a, b] et xn+1 = g(xn), ∀n ≥0. Nous allons montrer : 4 CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI (1) (xn) est de Cauchy (donc convergente, car [a, b] est complet) (2) xn − →l quand n − →+∞, où l est un point fixe de g. Par hypothèse, on sait que ∀n ≥1, |xn −xn+1| = |g(xn−1)−g(xn)| ≤k|xn−1 −xn|. Par récurrence sur n, on obtient : |xn −xn+1| ≤kn|x0 −x1|, ∀n ≥0. Soit n ≥0 et p ≥1, on a donc : |xn+p −xn| ≤ |xn+p −xn+p−1|+···+|xn+1 −xn| ≤ p ∑ q=1 |xn+q −xn+q−1| (∗) ≤ p ∑ q=1 kn+q−1|x1 −x0| ≤ |x1 −x0| kn 1+k +···+kp−1 ≤ |x1 −x0| kn 1−k − →0 quand n − →+∞ car k < 1 La suite (xn) est donc de Cauchy dans [a, b] qui est complet et par conséquent (xn) converge vers une limite l quand n − →+∞. Comme la fonction g est contractante, elle est continue, et donc g(xn) − → g(l) quand n − →+∞. En passant à la limite dans l’égalité : xn+1 = g(xn), on en déduit que l = g(l), c’est à dire que l est un point fixe de g. Etape 2 : Unicité Soient l1 et l2 deux points fixes de g, donc l1 = g(l1) et l2 = g(l2), alors |g(l1) −g(l2)| = |l1 −l2| ≤ k|l1 −l2| ; comme k < 1, ceci est impossible sauf si l1 = l2. Remarque 2. Si g est une application vérifiant  g([a, b]) ⊂[a, b] |g′(x)| < 1, ∀x ∈[a, b] alors la suite définie par xn+1 = g(xn), ∀n ≥0 converge vers l’unique point fixe l de g sur [a, b] pour tout choix de x0 ∈[a, b]. De plus en faisant tendre p vers l’infini dans (∗) et en gardant n, on obtient : |xn −l| ≤|x1 −x0| kn 1−k, ∀n ∈N avec k = max x∈[a, b]|g′(x)| 1.3.4. Fonctions convexes. Définition 4 (fonction convexe). Une fonction f : I ⊂R − →R est dite convexe sur I si ∀λ ∈[0, 1], ∀x, y ∈I, f(λx+(1−λ)y) ≤λ f(x)+(1−λ)f(y) Si l’inégalité est stricte, f est dite strictement convexe. Proposition 1. Si I = [a, b], α ∈]a, b[ et f : I − →R convexe, alors la fonction Φα : x − →Φα(x) = f(x)−f(α) x−α est croissante sur I \{α}. Proposition 2. Si f : I ⊂R − →R est deux fois dérivable, alors : f ′′ ≥0 = ⇒fconvexe f ′′ > 0 = ⇒f strictement convexe RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATION f(x) = 0 5 Définition 5. On dit que f : I ⊂R − →R est concave sur I si (−f) est convexe sur I. 1.3.5. Vitesse de convergence d’une suite. Définition 6. Soit (xn)n∈N une suite convergente vers α. On appelle ordre de convergence de la suite (xn) le réel fini ou infini r > 0 défini par : r = sup  s ∈R+ tel que lim n− →+∞ |xn+1 −α| |xn −α|s < ∞  (1) Si r = 2, on dit que la convergence de (xn) est quadratique. (2) Si r = 3, on dit que la convergence de (xn) est cubique. (3) Supposons que l’ordre de convergence de la suite (xn) est r = 1 et que : lim n− →+∞ |xn+1 −α| |xn −α| = k ≤1 (a) Si 0 < k < 1 on dit que la suite (xn) est à convergence linéaire. (b) Si k = 0 on dit que la suite (xn) est à convergence super-linéaire. (c) Si k = 1 on dit que la suite (xn) est à convergence logarithmique. Exemple 2. Soit a ∈R∗ +. Soit la suite récurente (xn)n∈N définie par  uploads/Litterature/ 1er-chapitre-analyz-numerik 1 .pdf

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