LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE Pierre de la Harpe 1er novembre 2008 ABSTRACT.

LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE Pierre de la Harpe 1er novembre 2008 ABSTRACT. This is a popularization essay of mathematics, in French, about the number known as the golden ratio: ϕ ≈1.61803 · · · . Several definitions of this number are shown to be equivalent. The golden ratio is then shown to be relevant to some elementary geometric problems (proportions in a regular pentagon), and also to arithmetic considerations of both elementary and more advanced nature (diophantine approximation, Hilbert’s 10th problem). The mathematical background expected from the reader varies a lot from place to place. R´ ESUM´ E. Texte de vulgarisation math´ ematique ` a propos du nombre d’or ϕ ≈1.61803 · · · . On y montre d’abord l’´ equivalence de plusieurs d´ efinitions de ce nombre. Puis on d´ ecrit le rˆ ole du nombre d’or dans divers probl` emes g´ eom´ etriques (proportions dans un pentagone r´ egulier), ainsi que dans diverses consid´ erations arithm´ etiques ´ el´ ementaires et plus avanc´ ees (approximation diophantienne, 10` eme probl` eme de Hilbert). Les pr´ erequis math´ ematiques sous–entendus varient consid´ erablement de place en place. Chic J’ai Compris L’essentiel Et c’est pour demain Si le diable est dans les d´ etails1 Un choix de d´ efinitions En math´ ematiques, le nombre d’or peut ˆ etre d´ efini de plusieurs mani` eres, diff´ erentes, mais toutes ´ equivalentes au sens o` u elles d´ efinissent le mˆ eme nombre. Le choix des d´ efinitions qui suivent, ainsi que leur ordre, rel` eve donc d’une bonne dose d’arbitraire. D´ efinition 1. Le nombre d’or est le nombre ϕ = √ 5 + 1 2 . La notation choisie, la lettre grecque ϕ, prononcer “fi”, est l’un des usages courants (un autre est τ, prononcer ` a mi–chemin entre “tau” et “tao”). Certains auteurs affirment que le choix de ϕ honore le sculpteur grec Phidias, du V` eme si` ecle avant J´ esus–Christ. 1Un fib est un po` eme de 6 vers comptant 20 syllabes, les 6 vers ayant dans l’ordre 1, 1, 2, 3, 5 et 8 syllabes. Wikip´ edia mentionne l’existence de fibs en sanscrit remontant ` a plus de 2000 ans. Pour un site de fibs, dus ` a Marc Lebel, voir http://mlebelm.ca/index.php?Fibs-a-la-fibonacci 2 PIERRE DE LA HARPE Approximations d´ ecimales. Pour les flemmards : de 4 < 5 < 9, on d´ eduit d’abord 2 < √ 5 < 3, et par suite 1, 5 < ϕ < 2. En poussant les calculs un peu plus loin, d’abord 4, 84 < 5 < 5, 29 = ⇒ 2, 2 < √ 5 < 2.3 = ⇒ 1, 6 < ϕ < 1, 65 , puis 4, 9729 < 5 < 5, 0176 = ⇒ 2, 23 < √ 5 < 2.24 = ⇒ 1, 615 < ϕ < 1, 62 , etc., par exemple jusqu’` a ce qu’on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia) ϕ ≈1, 6180339887 · · · , ou encore un peu plus : ϕ ≈1, 61803398 87498948 48204586 83436563 81177203 09179805 76286213 54486227 · · · . Voir http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi10000dps.txt (par ex- emple) pour les 10 000 premi` eres d´ ecimales de ϕ. C’est une cons´ equence de la proposition 2 (voir plus bas) qu’il n’est pas possible d’´ ecrire une valeur exacte en notation d´ ecimale avec un nombre fini de chiffres. D´ efinition 2. Le nombre d’or est la solution positive de l’´ equation x2 −x −1 = 0. Equivalence avec la d´ efinition 1. L’´ equation x2 −x −1 = 0 a deux solutions qui sont 1+ √ 5 2 et 1− √ 5 2 , comme on le v´ erifie par exemple en ´ ecrivant x −1 + √ 5 2 ! x −1 − √ 5 2 ! =  x −1 2 2 − √ 5 2 !2 =  x2 −x + 1 4  −5 4 = x2 −x −1. Par ailleurs, il est (presqu’) ´ evident que le nombre 1+ √ 5 2 est positif et que le nombre 1− √ 5 2 est n´ egatif. □ Remarques. Ainsi, ϕ2 −ϕ −1 = 0 ; il est parfois avantageux d’´ ecrire cela sous la forme 1 ϕ = ϕ −1. Notons par ailleurs que −1 ϕ = −2 √ 5 + 1 = −2( √ 5 −1) ( √ 5 + 1)( √ 5 −1) = −2( √ 5 −1) 4 = 1 − √ 5 2 , c’est–` a–dire que l’autre racine de l’´ equation de la d´ efinition 2 est pr´ ecis´ ement −1 ϕ = 1 − √ 5 2 ≈−0.618 · · · . D´ efinition 3. Le nombre d’or est la proportion ϕ telle que, ´ etant donn´ e deux nombres positifs L et ℓtels que L > ℓ> 0, le rapport de L + ℓ` a L est ´ egal au rapport de L ` a ℓ. Equivalence avec la d´ efinition 2. Si L+ℓ L = L ℓ = ϕ, alors ϕℓ+ℓ ϕℓ = ϕ, donc ϕ+1 ϕ = ϕ, ou encore ϕ + 1 = ϕ2, de sorte que ϕ est bien le nombre de la d´ efinition 2. R´ eciproquement, soit ϕ le nombre de la d´ efinition 2. Choisissons arbitrairement un nombre ℓ> 0 et posons L = ϕℓ. On v´ erifie facilement que L+ℓ L = L ℓ= ϕ, de sorte que ϕ est bien le nombre de la d´ efinition 3. □ LE NOMBRE D’OR EN MATH´ EMATIQUE 3 Faisons d’abord de la g´ eom´ etrie ... Proposition 1. Dans un pentagone r´ egulier dont les cˆ ot´ es ont longueur 1, les diagonales ont longueur ϕ. D´ emonstration. Consid´ erons un pentagone r´ egulier de sommets P, Q, R, S, T, dont les cˆ ot´ es ont longueur long(PQ) = long(QR) = long(RS) = long(ST) = long(TP) = 1. Les cinq diagonales ont aussi mˆ eme longueur, que nous notons τ : long(PR) = long(QS) = long(RT) = long(SP) = long(TQ) = τ. Il s’agit de montrer que τ = ϕ. INDISPENSABLE : dessiner une figure en lisant la suite ! Premi` erement, notons U l’intersection des diagonales QS et RT. Les triangles UTQ et URS ont leurs cˆ ot´ es parall` eles deux ` a deux ; ils sont donc semblables, et on a long(QU) long(US) = long(QT) long(RS) = τ. Deuxi` emement, le quadrilat` ere PQUT est un losange (cˆ ot´ es oppos´ es parall` eles et de mˆ eme longueur) ; par suite : long(QU) = long(PT) = 1. Il en r´ esulte que long(QS) long(QU) = long(QS) long(PT) = τ = long(QU) long(US) . Vu la d´ efinition 3, on a bien τ = ϕ. □ Cette proposition montre donc l’´ equivalence des d´ efinitions pr´ ec´ edentes avec la d´ efinition suivante. D´ efinition 4. Le nombre d’or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur des cˆ ot´ es dans un pentagone r´ egulier. Remarque. Le nombre d’or apparaˆ ıt ainsi de mani` ere tr` es simple dans une figure, le pentagone r´ egulier, qui a exerc´ e depuis la nuit des temps une tr` es grande fascination. La d´ ecouverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc consid´ erable pour les g´ eom` etres de la Gr` ece ancienne ; voir [OsWa]. Exercice. Si vous savez ce qu’est un cosinus, montrez que 2 cos π 5 = ϕ. [Indication : dans un pentagone r´ egulier dont les cˆ ot´ es ont longueur 1, on trouve un triangle rectangle dont l’hypoth´ enuse est de longueur 1 et un cˆ ot´ e de l’angle droit de longueur ϕ/2.] Remarque, pour les lecteurs qui savent manipuler l’exponentielle d’un nombre complexe. Voici une autre mani` ere de d´ emontrer la relation de l’exercice pr´ ec´ edent : si z = e2iπ/5 4 PIERRE DE LA HARPE et γ = z + 1 z  = 2 cos(2π/5), alors z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 et γ2 + γ −1 = 0, et par suite cos(2π/5) = √ 5−1 4 . On en d´ eduit d’abord que 2 cos2(π/5) = 1 + cos(2π/5) = 3+ √ 5 4 , et finalement que 2 cos(π/5) = q 3+ √ 5 2 = 1+ √ 5 2 = ϕ. Voici une traduction trigonom´ etrique des quatre lignes qui pr´ ec` edent, sans nombre com- plexe. Choisissons l’origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l’ordre cyclique : z0, z1, z2, z3, z4. Montrons d’abord que la somme S = z0 + z1 + z2 + z3 + z4 de ces quatre vecteurs est nulle. En effet, la moiti´ e de la somme de deux sommets cons´ ecutifs est le milieu du cˆ ot´ e qui les joint, par exemple 1 2(z0 + z1) = −ρz3, o` u ρ d´ esigne la distance entre l’origine et le milieu d’un cˆ uploads/Litterature/ nombre-dor.pdf

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