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Logique . — Nous avons l’implication logique “f injective |A| 6 |B|”. On peut s

Logique . — Nous avons l’implication logique “f injective |A| 6 |B|”. On peut se ⇒ demander si la réciproque “|A| 6 |B| f injective” est vraie. Non, elle ne l’est ⇒ pas ! Par exemple l’application {1, 2, 3} → {a, b, c, d} qui envoie 1, 2, et 3 sur a donne un contre- exemple. Par contre, ce qui est toujours vraie, c’est sa contraposée : |A| > |B| f non injective . ⇒ Tout ceci se passe comme la pluie et les nuages : on sait que s’il pleut, il y a des nuages. Mais la réciproque est fausse : s’il y a des nuages, il y a des chances pour qu’il pleuve, mais cela n’arrive pas toujours. Par contre, la contraposée est toujours vraie, à savoir : si le ciel est bleu (pas de nuage), alors il ne pleut pas. Facile, la logique. Définition (Application identité). — À tout ensemble A, on peut associer l’application identité qui envoie tout élément a sur lui-même. On la note # idA : A → A a 7→ a = idA(a) . Lorsque l’on a deux applications f : A → B et g : B → C dont le but B de la première correspond à la source de la seconde, on peut les composer. Pour tout élément a de A, on peut commencer par considérer son image f(a) par f, puis on peut considérer l’image g(f(a)) de f(a) par g. Ceci définit une nouvelle application. Définition (Composition). — La composée de deux applications f : A → B et g : B → C est l’application # g ◦ f : A → C a 7→ a = g(f(a)) . Notez l’inversion des symboles : la composée de f avec g se note g ◦ f, c’est-à- dire en “écrivant de droite à gauche”, comme en arabe. (2) 2. Remarquez que si on avait écrit l’image d’un élément par une application de la manière suivante (a)f, alors la composée de deux applications se noterait alors f ◦ g car dans ce cas ((a)f)g = (a)(f ◦ g) 18 CHAPITRE 1. ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE Exemple. — Considérons l’application f qui au numéro d’étudiant associe l’étudiant- e correspondante en L2-MASS :    f : {numéros d’étudiant} → {étudiant-e-s de L2-MASS} L2-MASS-1 7→ Lucie L2-MASS-2 7→ Chloé L2-MASS-3 7→ Thomas L2-MASS-4 7→ François . Sa composée avec la fonction âge donne    âge ◦ f : {numéro d’étudiants} → {0, 1, 2, 3, 4, . . .} L2-MASS-1 7→ 18 L2-MASS-2 7→ 20 L2-MASS-3 7→ 18 L2-MASS-4 7→ 21 Si on compose une application f : A → B avec l’identité à gauche idB ◦ f = f ou à droite f ◦ idA = f, cela ne change rien (3) : on trouve encore l’application f. On dit que l’identité est une unité pour la composition. Lorsque f : A → B est une application bijective, il y a une et une seule flèche qui part de chaque élément de A (définition d’une application) et il y a une et une seule flèche qui arrive sur chaque élément de B (bijectivité). On a donc une parfaite symétrie entre ce qui se passe à gauche et à droite. On peut donc inverser le sens des flèches ! Cela définit bien une application de B vers A. Définition (Application réciproque). — Pour toute application bijective f : A → B, on définit l’application réciproque par # f −1 : B → A b 7→ f −1 (b) := l’unique antécédent de b par l’application f . Exemple. — L’application f susmentionnée, qui au numéro d’étudiant associe l’étudiant-e correspondant-e est clairement bijective. Elle admet donc une réciproque qui est l’application “dans l’autre sens” associant à un-e étudiant-e son numéro :    f −1 : {étudiant-e-s de L2-MASS} → {numéros d’étudiant} Lucie 7→ L2-MASS-1 Chloé 7→ L2-MASS-2 Thomas 7→ L2-MASS-3 François 7→ L2-MASS-4 . Attention . — Prenez bien garde que l’application réciproque n’est bien définie que lorsque l’application f de départ est bijective. Dans le cas contraire, il est impossible d’inverser le sens des flèches. Par exemple, si un élément de B n’est atteint par aucune flèche, comment faire pour lui associer canoniquement un élément à gauche ? Esprit critique . — Avez-vous bien remarqué que nous avons utilisé deux notations certes proches mais différentes f −1 ({b}) et f −1 (b) ? La première représente un ensemble, celui des antécédents de b, et la seconde représente l’image de b par la fonction réciproque. Elles décrivent donc des objets de nature différente, ce qui devrait vous permettre de ne pas vous tromper. Le langage mathématique requiert de la précision uploads/Litterature/ aa4.pdf