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FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE : DÉFINITIONS - GÉNÉRALITÉS Dr Euloge KOUAME ©

FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE : DÉFINITIONS - GÉNÉRALITÉS Dr Euloge KOUAME © UVCI Aout 2017 Version 1 Table des matières Objectifs 5 I - Notions de bases sur les fonctions 7 A. Définition....................................................................................................7 B. Opérations algébriques.................................................................................9 C. Fonctions majorées, minorées, bornées..........................................................9 D. Monotonie.................................................................................................10 E. Parité et périodicité....................................................................................10 F. Injection, Surjection, Bijection.....................................................................11 G. Exercice....................................................................................................12 Conclusion 13 Solution des exercices 15 Bibliographie 17 Webographie 19 3 Objectifs À la fin de cette leçon, vous serez capable de :  définir une fonction  comprendre les propriétés fonctions  connaître les opérations possibles dans l'ensemble des fonctions à valeurs réelles 5 I - Notions de bases sur les fonctions I Définition 7 Opérations algébriques 9 Fonctions majorées, minorées, bornées 9 Monotonie 10 Parité et périodicité 10 Injection, Surjection, Bijection 11 Exercice 12 A. Définition Définition Une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles est une application f : U R → , où U est une partie de R. En général, U est un intervalle ou une réunion d'intervalles. On appelle U le domaine de définition de la fonction f . Syntaxe On note les fonctions f de la façon suivante : f : U R → x f(x). 1. la première flèche reliant U à R qui s'écrit sans barre verticale à l'extrémité gauche se lit : “dans” (f va de U dans R). 2. la deuxième flèche reliant x à f(x) possède, elle une barre verticale à l'extrémité gauche et se lit : “a pour image” (x a pour image f(x)). Le graphe, appelé encore courbe représentative, noté Cf d'une fonction f est l'ensemble des points (x; f(x)) du plan défini par : Cf = {(x, f (x)) | x U}. ∈ 7 Exemple : Deux fonctions classiques B. Opérations algébriques Soient f : U R → et g : U R → deux fonctions définies sur une même partie U de R. On peut alors définir les fonctions suivantes :  la somme de f et g est la fonction f + g : U R → définie par ( f + g)(x) = f (x) + g(x) pour tout x U ∈ ;  le produit de f et g est la fonction f . g : U R → définie par ( f . g)(x) = f (x) . g(x) pour tout x U ∈ ;  la multiplication par un scalaire λ R ∈ de f est la fonction λ . f : U R → définie par (λ . f )(x) = λ .f (x) pour tout x U ∈ . C. Fonctions majorées, minorées, bornées Notions de bases sur les fonctions 8 Définition Soient f : U R → et g : U R → deux fonctions. Alors :  f ≥ g si x U, f (x) ≥ g(x) ∀ ∈ ;  f ≥ 0 si x U, f (x) ≥ 0 ∀ ∈ ;  f > 0 si x U , f (x) > 0 ∀ ∈ ;  f est dite constante sur U si a R , x U , f (x) = a ∃ ∈ ∀ ∈ ;  f est dite nulle sur U si x U , f (x) = 0 ∀ ∈ . Définition Soit f : U R → une fonction. On dit que :  f est majorée sur U si M R , x U, f (x) ≤ M ∃ ∈ ∀ ∈ ;  f est minorée sur U si m R , x U, f (x) ≥ m ∃ ∈ ∀ ∈ ;  f est bornée sur U si f est à la fois majorée et minorée sur U. Exemple : Graphe d'une fonction bornée (minorée par m et majorée par M). D. Monotonie Définition Soit f : U R → une fonction. On dit que :  f est croissante sur U si x, y U, x ≤ ∀ ∈ y f (x) ≤ f (y) →  f est strictement croissante sur U si x, y U, x < y ∀ ∈ → f (x) < f (y)  f est décroissante sur U si x, y U, x ∀ ∈ ≤ y f (x) ≥ f (y) →  f est strictement décroissante sur U , si x, y U, x < y f (x) > f (y) ∀ ∈ →  f est monotone (resp. strictement monotone) sur U si f est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante) sur U. Notions de bases sur les fonctions 9 Exemple : Un exemple de fonction croissante (et même strictement croissante) Remarque : Somme, produit et composition de fonctions monotones Soient f et g deux fonctions définies sur U. 1. Si f et g sont croissantes sur U, la somme f + g est croissante. 2. Si f et g sont positives ou nulles sur U. Si f et g sont croissantes sur U alors leur produit fg est croissant sur U. 3. Si f et g sont croissantes toutes le deux, ou décroissantes toutes les deux alors leur composée (si elle existe), est croissante. 4. Si l'une des fonctions f ou g est croissante et l'autre décroissante, alors la composée est décroissante. E. Parité et périodicité Définition : Parité Soit I un intervalle de R symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire de la forme ] - a, a[ ou [-a, a] ou R). Soit f : I R une fonction définie sur cet intervalle. On dit que : → f est paire si x I , f (- x) = f (x) ∀ ∈ , f est impaire si x I, f (- x) = - f (x) ∀ ∈ . Remarque : Interprétation graphique  f est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (figure de gauche).  f est impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l'origine (figure de droite).  IMPORTANT : toute fonction f impaire s'annule en 0. Autrement dit, si f est impaire f(0) = 0. Notions de bases sur les fonctions 10 Définition : Périodicité Soit f : R R → une fonction et T un nombre réel, T > 0. La fonction f est dite périodique de période T si x R , f (x + T) = f (x) ∀ ∈ . Interprétation graphique f est périodique de période T si et seulement si son graphe est invariant par la translation de vecteur T.i, où i est le premier vecteur de coordonnées. Remarque Si f est une fonction périodique de période T, alors, pour tout entier relatif non nul n , f est périodique de période nT. Exemple Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques. La fonction tangente est π- périodique.  Notions de bases sur les fonctions 11 F. Injection, Surjection, Bijection Définition Soit f : E F → une fonction, où E et F sont des parties de R.  f est injective si x, x' E. ∀ ∈ f (x) = f (x') x = x' → ;  f est surjective si y F, x E, y = f (x) ∀ ∈ ∃ ∈ ;  f est bijective si f est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire si y F ! ∀ ∈ ∃ x E, y = f (x). ∈ Proposition Si f : E F → est une fonction bijective alors il existe une unique application g : F E → telle que g o f = idE et f o g = idF . La fonction g est la bijection réciproque de f et se note f-1. Remarque  On rappelle que l'identité, idE : E E est simplement définie par x → x.  g o f = idE se reformule ainsi : ∀ x E, g( f(x) )= x. ∈  Alors que f o g = idF s'écrit : y F, f( g(y) )= ∀ ∈ y.  Dans un repère orthonormé les graphes des fonctions f et f-1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Voici le graphe d'une fonction injective (à gauche), d'une fonction surjective (à droite) et enfin le graphe d'une fonction bijective ainsi que le graphe de sa bijection réciproque. G. Exercice Q u e s t i o n 1 Soit I =]-∞,0[ et f : I R définie par → f (x) = 1/x. f est-elle monotone ? Et sur I =]0,+∞[ ? Et sur I =]-∞, 0[ U ]0, +∞[ ? Q u e s t i o n 2 Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme ? du produit ? et de la composée ? Et pour deux fonctions impaires ? Et si l'une est paire et l'autre impaire ? Notions de bases sur les fonctions 12 Q u e s t i o n 3 [Solution n°1 p 17] Soit I =]-∞,0[ et f : I R définie par → f (x) = 1/x. f uploads/Litterature/ ana-l3-papier 1 .pdf