Licence Sciences et Techniques L1 MATH PC SI M11 Mathématiques Recueil d’exerci

Licence Sciences et Techniques L1 MATH PC SI M11 Mathématiques Recueil d’exercices corrigés et aide-mémoire. Gloria Faccanoni i http://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.html Année 2017 – 2018 Dernière mise-à-jour : Mercredi 13 septembre 2017 Table des matières Notations 3 1 Formulaires de géométrie 5 2 Méthodologie disciplinaire 9 3 Fonctions d’une variable réelle 51 4 Éléments de logique et notions fondamentales de la théorie des ensembles 93 5 Relations, fonctions, applications 115 6 Suites numériques et limites 141 7 Limites et continuité 169 8 Dérivabilité 185 9 Plan d’étude d’une fonction numérique 221 10 Nombres complexes 241 11 Primitives et Intégrales 247 12 Équations différentielles ordinaires (EDO) 271 Annales 2013-2017 315 Ce cours s’adresse à des étudiants de la première année d’une Licence Scientifique. Il a pour objectif de donner les bases en calcul différentiel pour des fonctions réelles d’une variable réelle indispensables à toute formation scientifique. Les notions supposées connues correspondent au programme du lycée. L’objet de ce aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici on a cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants au lycée et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopiée ne dispense pas des séances de cours et de TD ni de prendre des notes complémentaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’être exhaustif) ! De plus, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs. Malgré de très nombreuses relectures, il restera toujours des fautes, ce polycopié est donc fournit sans garanties ! N’hésitez pas à me signaler les erreurs que vous remarquez. On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessitée. Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, économie, etc.), cela afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence du calcul différentiel. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraitre incompréhensible. Pour que la méthode d’étude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à coté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l’énoncé (pas le recopier), en particulier s’il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifier que les hypothèses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s’apercevoir que l’idée qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s’interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu’on a écrit. Si l’étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l’aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, interroger les tuteurs). M11 CM 30h 20 séances de 1h30 TD 45h 30 séances de 1h30 Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment M-117 T 0033 (0)4 83 16 66 72 Université de Toulon Avenue de l’université B gloria.faccanoni@univ-tln.fr 83957 LA GARDE - FRANCE i http://faccanoni.univ-tln.fr Notations Ensembles usuels en mathématiques On désigne généralement les ensemble les plus usuels par une lettre à double barre : N l’ensemble des entiers naturels N∗l’ensemble des entiers strictement positifs Z l’ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) Z∗l’ensemble des entiers non nuls Q l’ensemble des nombres rationnels ³ p q tel que p ∈Z et q ∈Z∗´ R l’ensemble des réels R∗l’ensemble des réels autres que 0 C l’ensemble des nombres complexes Intervalles Inégalité(s) Ensemble Représentations graphique a ≤x ≤b [a,b] a b a b a < x < b ]a,b[ a b a b a ≤x < b [a,b[ a b a b a < x ≤b ]a,b] a b a b x ≥a [a,+∞[ a a x > a ]a,+∞[ a a x ≤b ]−∞,b] b b x < b ]−∞,b[ b b |x| ≤a avec a ≥0 [−a,a] −a a −a a |x| < a avec a ≥0 ]−a,a[ −a a −a a |x| ≥a avec a ≥0 ]−∞,−a]∪[a,+∞[ −a a −a a |x| > a avec a ≥0 ]−∞,−a[∪]a,+∞[ −a a −a a ∀x ∈R ]−∞,+∞[ x ̸= a ]−∞,a[∪]a,+∞[= R\{ a } a a Symboles utilisés dans le document définition, théorème, corollaire, proposition, propriété(s) astuce attention remarque méthode, algorithme, cas particulier exercice de base exercice exemple curiosité 3 Notations Mercredi 13 septembre 2017 > strictement supérieur < strictement inférieur ≥ supérieur ou égal ≤ inférieur ou égal ̸= différent ≡ équivaut (équivalence logique) { } ensemble A\B ensemble A privé de l’ensemble B, i.e. CA(B) le complémentaire de B dans A ; ensemble vide | tel que ∈ appartient ̸∈ n’appartient pas ∀ pour tout (quantificateur universel) ∃ il existe (quantificateur universel) ̸ ∃ il n’existe pas ∃! il existe un et un seul ⊂ est sous-ensemble (est contenu) ∪ union d’ensembles ∩ intersection d’ensembles ∨ ou ∧ et ¬ non = ⇒ si ... alors ; implique ⇐ ⇒ si et seulement si ssi si et seulement si ln logarithme de base e loga logarithme de base a ∞ infini R symbole d’intégrale Pn i=0 ai somme par rapport à l’indice i, équivaut à a0 + a1 +···+ an Qn i=0 ai produit par rapport à l’indice i, équivaut à a0 × a1 ×···× an n! n factoriel, équivaut à 1×2×···×n g ◦f composé de f par g (on dit «g rond f » ou encore «f puis g») f ′, d f dx symboles de dérivée (H) = utilisation de la règle de l’Hôpital (P.P.) = intégration par parties 4 © 2017-2018 G. Faccanoni 1 Formulaires de géométrie 1.1 Formulaire de géométrie plane ℓ ℓ Périmètre p = 4ℓ Aire A = ℓ2 b h Périmètre p = 2(b +h) Aire A = bh r Périmètre p = 2πr Aire A = πr 2 h b i π 2 Périmètre p = b +h +i Aire A = bh 2 a b c h π 2 Périmètre p = a +b +c Aire A = bh 2 = 1 4 p p(p −2a)(p −2b)(p −2c) a B c b h Périmètre p = a +B +c +b Aire A = (B+b)h 2 A B H C a b n m h c = n +m Triangle rectangle en C :  ACB = π/2 Théorème de Pitagore     c2 = a2 +b2, b2 = h2 +n2, a2 = h2 +m2 Premier théorème d’Euclide " b2 = cn a2 = cm Deuxième théorème d’Euclide h2 = nm 5 1 Formulaires de géométrie Mercredi 13 septembre 2017 1.2 Formulaire de géométrie solide ℓ ℓ ℓ Surface latérale Slat = 4ℓ2 Surface totale Stot = 6ℓ2 Volume V = ℓ3 a c b Surface latérale Slat = 2c(a +b) Surface totale Stot = 2(ab + ac +bc) Volume V = abc ℓ ℓ h a Surface latérale Slat = 2ℓa Surface totale Stot = 2ℓa +ℓ2 Volume V = ℓ2h 3 r h Surface latérale Slat = 2πrh Surface totale Slat = 2πrh +2πr 2 Volume V = πr 2h r Surface totale Stot = 4πr 2 Volume V = 4 3πr 3 6 © 2017-2018 G. Faccanoni Mercredi 13 septembre 2017 1 Formulaires de géométrie  Exercices  Exercice 1.1 La scène d’une salle de concert a la forme d’un demi-cercle. Sa longueur est de 16 m. Quelle est sa surface, en m2 ? Correction La longueur de la scène correspond au diamètre du disque, donc r = 8m. L’aire du demi-disque sera égale à la moitié de l’aire du disque : πr 2/2 = 32π i.e. environ 100.48 m2. Exercice 1.2 1. Les célèbres fesses de Kim KARDASHIAN de la figure 1.1a ont une surface de 64π et sont divisées en 8 secteurs. Calculer le périmètre d’un de ces secteurs. 2. Si le rayon est 12 et la surface colorée de la figure 1.1b mesure 48π, quel est la mesure de l’angle colorée ? 3. Si l’éditeur du journal devait photoshoper la région de sorte que son diamètre soit doublé, quel serait le rapport résultant entre la superficie de la nouvelle région et celle de la uploads/Litterature/ m11-mathematiques-recueil-d-x27-exercices-corriges-et-aide-memoire.pdf

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littérature fonction alors exercice solution correction
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