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1 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

1 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ COURS ET EXERCICES D’ANALYSE Pour économiste Licence 1 Professeur : FOADE DENIS JOEL TONGNIVI UFR SEG, Université de Cocody 2 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ AVANT-PROPOS Ce document s’adresse en premier lieu aux Etudiants de la Licence première année Economie-Gestion. IL se sera utile, d’autre part, aux élèves de première année des classes préparatoires scientifiques, ainsi qu’aux étudiants d’autres filières comportant un solide programme de mathématiques. Le document est divisé en deux grandes parties : la première partie est composée du cours d’analyse et la deuxième des exercices dont certains ont été corrigés. La première partie comporte quatre chapitres. Le cours est composé des définitions, théorèmes et propriétés nécessaires et suffisantes et de nombreux exemples. Les termes utilisés sont accessibles à tout étudiant ayant fait au moins la classe de Terminale. Je remercie tous ceux qui m’ont aidé à concevoir ce document Prof. FOADE Denis Joël Tongnivi, UFR-SEG, Université de Cocody-Abidjan, denis_foade@hotmail.com 3 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ SOMMAIRE Chapitre 1 : Suites numériques et raisonnement par récurrence Chapitre 2 : Fonction numérique à une variable Chapitre 3 : Formule de Taylor, développements limités et étude de quelques fonctions usuelles Chapitre 4 : Fonction de plusieurs variables et optimisation ; courbes de niveau et calcul intégral. 4 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ CHAPITRE 1 : SUITES NUMERIQUES et RAISONNEMENT PAR RECURRENCE. 1.1-Suites numériques 1-Définition Une suite réelle ou complexe est une application U d’une partie Ι de N vers R ou C. L’image U(n) de n, est notée U n. La suite Un est alors notée (Un). Généralement Ι =N ou Ι =N ¿ 2- Convergence et Limites On dit que la suite (U n) tend vers une limite finie l(réel ou complexe) lorsque pour tout choix d’un nombre ε>0 (aussi petit que l’on veut) à partir d’un certain rang n0 (dépendant du choix de ε) la valeur de tout U n est proche de lde moins ε. Autrement dit :∀ε>0,n0 ∕n≥n0⇒|Un−l|<ε ou écrit alors U n→l ou lim n→∞Un=l . Une suite est convergente lorsqu’elle tend vers une limite finie. Une suite est divergente lorsqu’elle ne tend pas vers une limite finie ou bien lorsqu’elle n’admet pas de limite ou lorsqu’elle tend vers une limite infinie (+∞,ou−∞). -PROPRIETES 5 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ Soient (U n)et (V n) 2 suites réelles ou complexes. i) Si lim n→∞Un=l et lim n→∞V n=l ' alors lim n→∞(U n+V n)=l+l ' ii) Si lim n→∞Un=l et α ∈R alors lim n→∞α U n=α l iii) Si lim n→∞Un=l avec U n≠0, ∀net l ≠0 alors lim n→∞ 1 U n =1 l iv) Si lim n→∞Un=l alors lim n→∞|U n|=|l| v) Soit U n=an+i bn avec an,bn∈R. La suite(U n) converge⇔ les suites (an)et (bn) convergent. Dans ce cas, lim n→∞Un= lim n→∞an+i lim n→∞bn Théorème : Unicité de la limite Lorsqu’une suite tend vers une limite alors cette limite est unique. Preuve : Supposons lim n→∞Un=l et lim n→∞Un=l ' avec l ≠l ' α=|l−l '|>0 lim n→∞Un=l ⇒∀ε>0,∃n0(n≥n0)⇒|U n−l|<ε, En particulier pour ε=α 4 et n≥n0 ou |U n−l|< α 4 lim n→∞Un=l’⇒∀ε>0,∃n1 ∕n≥n1⇒|U n−l '|<ε En particulier pour ε=α 4 et n≥n1⇒|Un−l '|< α 4 α=|l−l'|=|l−U n+U n−l '|≤|l−U n|+|Un−l'| α=|l−l'|≤|U n−l|+|Un−l'| α < α 4 + α 4 =α 2 ⇒α < α 2 (Absurde) d’où on ne peut avoir l ≠l ' 6 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ 3 - Sens de variations Soit une suite (Un)(U ¿¿n)¿ définie surΙ. ¿ Lasuite (U n) est croissante si et seulement si : ∀n∈Ι ,Un+1≥Un ou (U n+1−U n)≥0 ¿ Lasuite (U n) est décroissante si et seulement si : ∀n∈Ι ,Un+1≤U n ou (U n+1−Un)≤0 ¿ Lasuite (U n) est stationnaire si et seulement si : ∀n∈Ι ,Un+1−U n=0⇒Un+1=U n ¿ Une suite croissante ou décroissante est dite monotone 4 - Suites bornées La suite (U n) est majorée si et seulement si ∃M ∈R;tel que∀n∈Ι ,U n≤M. La suite (U n) est minorée si et seulement si ∃m ∈R; tel que∀n∈Ι ,U n≥m. La suite (U n¿ est bornée si elle est minorée et majorée Théorème : i) Toute suite croissante, majorée est convergente ii) Toute suite décroissante minorée est convergente iii) Toute suite monotone et non bornée est divergente 5 - Suites extraites-sous suites Soit une suite (U n) définie sur Nou N ¿: la suite (U n ' ) définie sur une partie infinie D de N est telle que, U n ' =U n, ∀N∈ D, est appelée une suite extraite de (U n). 7 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ Exemple : U n= n+3 n 2+1 ,n∈N U n ' = n+3 n 2+1 ,n∈ {100,101,…} (U n ' ) est une suite extraite de ( U n). Soit une suite (U n) définie sur N et φ une application, φ croissante de N dansN. La suite (V n) telle que V n=U φ(n) est une sous suite de ( U n). Exemple : (U n) tel que U n=n+1 n+2 et φ: N ⟶N n⟶n+3 Soit (V ¿¿n)¿, la suite telle que V n=U φ(n)=U n+3 V n=U φ(n)=U n+3= n+4 n+5 (V ¿¿n)¿ est une sous-suite de(U n). 6 - Suites adjacentes Deux suites(U n)et ¿ croissante et l’ autre(V n)décroissante et lim n→∞(V n¿−U n)=0¿ Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Preuve :(U n) est croissante, ( V n) est décroissantes et lim (V n−U n) n→∞ lim n→∞(V n−Un)=0 Toute suite stationnaire est convergente. Toute suite convergente est bornée :(U n)converge → l ∀ε ≥0,∃n0∈N ;∀n∈N; n≥n0⇒|U n−l|≤ε U n−l≤ε ⇔U n≤l+ε |U n|≤|l+ε|⇒|Un|≤|l|+ε 8 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ Si l ≥' U n pour n<n0 ∀p∈N ,|U p|≤ {|U n+ ε,l'|} Exercice d’application W n=V n−U n, (W n)=(V n)−(U n) W n+1−W n=(V n+1−Un+1)−(Un−U n)⇒W n+ 1−W n≤0⇔W n¨+1<wn d’où (W n ) est décroissante. 7- Suites récurrentes Une suite (U n) est dite récurrente lorsqu’elle est définie par la donnée de 1er terme et par la relation U n+1=f (U n). Théorème : Si (U n) converge vers et si f est continue, alors l=f (e ). Preuve : U n+1=f (U n),lim n→∞Un+1=l et lim n→∞Un=l ⇒l= lim n→∞U n+1=lim n→∞f (U n) ¿ f [ lim n→∞U n]=f (l) puisque f est continue. Exemple : étude de U n=1 2(U n−1+ 4 Un−1),n≥2 Posons y=1 2(x+ 4 x),x>0 U n−1=x ,Un=y x∈¿0;+∞¿ x→0,⇒y →∞,la droite d’équation x=0 est asymptote. x→∞, 4 x , y=1 2 x=asymptote oblique 9 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ y= 1 2(1−4 x 2)= 1 2( x 2−4 x 2 ) Tableau de variation U 1≤U 2≤…<U n≤V n+1≤V n≤…≤V 1⇒ (U n) est croissante et majorée par (V n) donc (U n) est convergente. ( V n ) est décroissante et minorée par U n⇒V n est convergente. Soit U n→l ,V n→l '⇒(V n−Un)=(l−l' ) or par hypothèse (V n−Un)→0⇒l=l'. 10 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ Exercice : Montrer que ∀n∈N ,2 n>n, en déduire que la suite (U n) définie par U n= 1 2 n est convergente. Résolution Si la relation est vraie pourn=1; n=2et n = n on aura : 2 n>n Supposons, cette relation vraie jusqu’à l’ordre n−1.   1 1 2, 2 1 2.2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n avec n on a n n n n n n n                      2 n>2n−2>n 1 n →0⇒1 2 n →0quand n→∞ ⇒U n→0qdn→∞ 1.2- Raisonnement par récurrence 1- Définition : le raisonnement par récurrence est un procédé de démonstration des propriétés dépendant des entiers naturels. Soit Pn une propriété où n∈N . Pour démontrer que Pnest vraie par récurrence, on procède comme suit : a) On vérifie que P0 est vrai. b) On suppose que Pk est vraie pour 0≤k ≤n c) On déduit de b) appelé hypothèse de récurrence que Pn +1 est vraie. d) On conclut que Pn est vraie ∀n∈N 11 Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI __________________________________________________________________________________ 2- Exercices i) Démontrer par récurrence sur * que l’on a : Pn=∑ k=1 n ¿ n(n+1) 2 a¿∑ 1 1 k=1=1(1+1) 2 =1=P1⟹P1est vraie b¿ Supposons Pn=∑ k=1 n k=n(n+1) 2 est vraieàl’ ordrede n. c ¿ Démontronsque Pn+1est vraie ∀n∈N ¿ ¿ Pn+1=∑ k=1 n k+(n+1)=n(n+1) 2 uploads/Litterature/ analyse-l1-fd-2018.pdf