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Complément du Manuel de MATHEMATIQUES POUR ECONOMISTES – 1 Jean – Paul Tsasa V.

Complément du Manuel de MATHEMATIQUES POUR ECONOMISTES – 1 Jean – Paul Tsasa V. Kimbambu Rédaction Dirigée par le Professeur Jean – Pierre Bosonga Bofeki Lounga Avec la Collaboration bayésienne du Chef de Travaux Albert Lomboto et des Assistants Patrick Lukau Ebonda et Cédrick Tombola Muke Production LAREQ Sentier d’expansion E C B N M A 2 Complément du Manuel de MATHEMATIQUES POUR ECONOMISTES – 1 Jean – Paul Tsasa V. Kimbambu 3 4 Par Jean – Paul Tsasa V. Kimbambu Sous la Direction du Professeur Jean – Pierre Bosonga Bofeki Lounga Avec la Collaboration bayésienne du Chef de Travaux Albert Lomboto et des Assistants Patrick Lukau et Cédrick Tombola 5 L’auteur J. Paul Tsasa est diplômé de l’Université Protestante au Congo –Option Economie Mathématique, depuis 2009. Il détient également un diplôme d’agrégation [2009] de la même institution et, est Master en cours dans le cadre du Nouveau Programme de Troisième Cycle Interuniversitaire en Economie [4ième éd., Université Polytechnique de Bobo Dsso]. Il assure régulièrement les travaux pratiques dans les cours de mathématiques, statistique, microéconomie, économétrie et modèles macroéconomiques à la Faculté d’Administration des Affaires et Sciences Economiques [UPC] et au Centre Congolais – Allemand de Microfinance [Frankfurt School – UPC]. Il est, par ailleurs, chercheur à la Cellule de Réflexions Economiques et Sociales [CRES], au Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative [LAREQ] et membre du Groupe d’experts de World Economic Survey [WES] de l’Institute for Economic Research [IFO]. Ses recherches couvrent divers sujets, notamment la cointégration non linéaire, le modèle GARCH multivarié, le modèle d’équilibre général dynamique stochastique et l’analyse des fondements microéconomiques de politique de développement. 6 Production financée par le LAREQ. © Université Protestante au Congo-JPaul Tsasa Croisement Avenue de la Libération et Boulevard Triomphale Kinshasa – Lingwala (BP. 4745 Kinshasa II) Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative LAREQ (BP. 16.626 Kinshasa I) – http://www.lareq.com Draft 1ière édition 1ier titrage 2012 Toute production d’un extrait de ce livre, par quelque procédé que ce soit, notamment par photocopie ou microfilm est strictement interdite. Imprimé à Kinshasa Dépôt Légal n° Bibliothèque Nationale, Kinshasa : février 2012 7 Sommaire « Si vous ne pouvez expliquer un concept à un enfant de six ans, c'est que vous ne le comprenez pas complètement. » –Albert Einstein Avant – propos Série 1 : EQUATIONS, INEQUATIONS & MODULE Série 2 : OPERATEURS ET ANALYSE COMBINATOIRE Série 3 : LIMITES, ASYMPTOTE & CONTINUITE Série 4 : DERIVEES & DIFFERENTIELLES Série 5 : ETUDE DES VARIABLES ET OPTIMISATION Série 6 : NOMBRES COMPLEXES 8 Avant – Propos Tout passe d’abord par le « fictif », c’est-à-dire l’imaginaire des savants. − Robert E. Lucas La pertinence de la maîtrise de l’outil mathématique n’est plus à démontrer, il suffit de lire [ci – dessous] les propos tenus par quelques auteurs qui ont révolutionné les sciences économiques. Puisqu’il est admis, à ce jour, qu’un bon économiste ne peut s’en passer du raisonnement mathématique, ce recueil se propose, donc, de présenter aux étudiants une recette d’initiations à la maîtrise des outils quantitatifs appliqués en économie.  Josiah Willard Gibbs cité par Paul Antony Samuelson [Prix Nobel d’économie en 1971] : “ Mathematics is a language ”  Hal Ronald Varian : “ Les étudiants en science économique devraient maîtriser le calcul mathématique, mais malheureusement nombre d’entre eux ne le maîtrisent pas ou du moins pas très bien… L’absence de formation au calcul mathématique et aux techniques d’optimisation rend difficile la présentation de certaines méthodes analytiques de la science économique. Toutefois, la tâche n’est pas impossible. On peut déjà aller fort loin en n’envisageant que …”  Joseph Aloïs Schumpeter : “ Le seul moyen d'accès à une position telle que notre science puisse donner un avis positif pour de nombreux politiciens et hommes d'affaires repose sur des travaux quantitatifs. Aussi longtemps que nous ne serons pas capables de traduire nos arguments en chiffres, la voix de notre science, bien qu'elle puisse occasionnellement aider à éviter des erreurs grossières, ne sera jamais entendue par les praticiens. Ils sont tous, par instinct, économètres, du fait de leur incrédulité pour toute chose dont il n'existe pas une preuve exacte ”  Simone et Blume : “ Pour les meilleurs ou les pires, les mathématiques sont devenus l’outil privilégié de l’analyse économique contemporaine … ” 9  Léon Walras : “ Pourquoi s’obstiner à expliquer très péniblement et très incorrectement, comme l’a fait souvent David Ricardo et comme le fait chaque instant John Stuart Mill dans son Principe d’Economie Politique, en se servant de la langue usuelle, de choses qui, dans une langue mathématique, peuvent s’énoncer en bien moins de mots, d’une façon bien plus exacte et plus claire ? ”  Galilée : “ La mathématique est une science dangereuse : elle dévoile les supercheries et les erreurs de calcul. ” Consigne : sauf indication contraire, arrondir à 3 rangs après la virgule. Avertissements Le premier tirage de ce recueil n’est qu’un supplément du support du cours, et donc n’est pas soumis aux lois classiques du marché, ni à une quelconque vente en isolé. Il accompagne et complète le support rédigé par le Professeur, Titulaire du cours. Alors que le support du cours illustre, par des exemples assez clairs, les concepts et notions développés dans les différents chapitres, ce recueil reprend, pour l’essentiel, des applications non résolus qui serviront de benchmark pour la préparation des épreuves d’interrogations et d’examens. Précisons que la majorité des applications sont d’habitude résolues lors des séances de travaux pratiques. Remerciements La réalisation de ce manuel n’est pas l’œuvre d’une personne. Elle est naturellement le fruit d’un faisceau de contributions tant directes qu’indirectes. Nos vifs remerciements s’adressent premièrement au Professeur Jean – Pierre Bosonga Bofeki Lounga, titulaire de ce cours. Il a mis à notre disposition une batterie conséquente d’ouvrages nous ayant permis de confectionner ce premier recueil. En un second moment, nous remercions le Chef de Travaux Albert Lomboto, mes collègues assistants de l’UPC Patrick Lukau et Abel Kutangila, ainsi que mes collègues chercheurs LAREQ Dandy Matata, Cédrick Tombola, Foura Mayemba, Israel Makambo et Michel – Ange Lokota avec qui nous partageons la conviction de la non pertinence des sciences économiques sans les maths. 10 Par ailleurs, je ne saurai passer sous silence toute l’équipe qui travaille avec le Professeur Bosonga, particulièrement les Assistants Ekembe et Lungungu de l’Université de Kinshasa, collègues avec qui nous partageons la même passion et envers qui, je dois certaines applications reprises dans ce recueil. Que mes étudiants retrouvent en ces quelques lignes les prémisses d’une œuvre grandiose que certains d’entre eux sont appelés à fignoler. In fine, je suis la seule personne à blâmer en cas d’imperfections ou d’éventuelles erreurs pouvant apparaître aléatoirement dans ce recueil. Jean – Paul Tsasa, Assistant. Alphabet Grec MAJUSCULE MINUSCULE   alpha   beta   gamma   delta   epsilon   zeta   eta   theta   iota   kappa   lambda   mu   nu   xi   omicron   pi   rho   sigma   tau   upsilon   () phi   khi   psi   omega 11 Série 1 Applications sur les Equations et Inéquations et leurs systèmes Un savant doit ordonner. On fait la science avec les faits comme une maison avec des pierres. Mais une accumulation de faits n’est pas plus une science qu’un tas de pierres n’est une maison. Henri Poincaré Ce que nous allons faire Contrairement à une identité1, une équation est une égalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeurs données aux variables dites inconnues2 qu’elle contient. Parallèlement, une inéquation est une inégalité qui n’est vérifiée que pour certaines valeurs données aux variables dites inconnues. Tout au long de cette première série d’applications, il sera question de résoudre quelques applications sélectionnées suivant une optique ayant pour fonction – objectif, l’initiation de l’économiste en herbe aux techniques quantitatives. La série porte donc essentiellement sur la résolution (i) des équations ; (ii) des inéquations et (iii) des équations et inéquations augmentées de module. (iv) Et un dernier, une attention particulière portera sur les systèmes d’équations et ceux d’inéquations. A titre exemplatif, soit les 3 expressions suivantes : (i) y+2x=4 ; (ii) 2x+1<1+y et (iii) |2x+1|=y ; résoudre une équation ou une inéquation consistera simplement à répondre aux questions suivantes :  quelles sont les valeurs de x et de y pour lesquelles on a y+2x=4 ; et |2x+1|=y.  quelles sont toutes les valeurs de x pour lesquelles on vérifie : 2x+1<1+x. 1 Une identité est une égalité vérifiée pour toutes les valeurs données aux variables qu’elle contient. Tout comme, la mise en évidence, les groupements – artifices ou la méthode du diviseur binôme, l’identité remarquable facilite la décomposition en facteurs. 2 D’après René Descartes, il faut noter les inconnues par les lettres de la fin de l’alphabet (x, y z), les paramètres par les lettres médianes (m, p, q) et les constantes par les uploads/Litterature/ manuel-mathematiques.pdf