Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 ANALYSE NUMÉRIQUE JEAN-PAUL CALVI 1R2 UPS Université

UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 ANALYSE NUMÉRIQUE JEAN-PAUL CALVI 1R2 UPS Université de Toulouse UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 ©2013-14 Jean-Paul Calvi ISNB 978-2-9546609-0-5 R2 Décembre 2014 L’ouvrage est disponible en ligne sur les pages suivantes : — http://univ.jeanpaulcalvi.com — http://www.math.univ-toulouse.fr/˜calvi Il est interdit de déposer ce documents sur une page ou dans une archive électronique sans l’autori- sation écrite de l’auteur. UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 At my hut All that I have to offer you, Is that the mosquitoes are small. Bashô UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 Préface J’attribue mon intérêt - tardif - pour l’analyse numérique à deux accidents non entièrement indé- pendants et conjointement à l’origine de ce livre. Le premier, qui permit le second, remonte à ma rencontre avec Len Bos, aujourd’hui professeur à l’université de Vérone, un remarquable numé- ricien - et très passable fermier - tandis que le second se produisit un peu plus tard lorsque le Dé- partement de Mathématiques de l’Université Paul Sabatier me conﬁa, il y a déjà une dizaine d’an- nées, un cours d’analyse numérique destiné à des étudiants de la ﬁlière informatique. Si la Providence seule explique le premier, le cours d’informatique en question m’échut par une méthode intéressante que j’appelle celle du dernier reste : le départe- ment me ﬁt plusieurs fois l’honneur de m’attribuer un enseignement dont aucun de mes collègues ne voulait, attention que j’ai toujours tenté de m’ex- pliquer, même difﬁcilement, par l’évidence de mes qualités pédagogiques. J’abordai la préparation de ce cours avec une intention hérétique, celle de m’adresser au public auquel il était destiné, en sui- vant un syllabus à la fois laconique et banal, dans l’idée de procurer une culture numérique rudimen- taire mais cohérente à qui ne se risquerait pas à lire une seule des démonstrations qu’il contien- drait. En réalité, je rencontrai au début plusieurs promotions d’étudiants remarquables qui me dis- suadèrent de supprimer les démonstrations qu’ils n’étaient pas contraints de lire et ﬁrent en sorte que mon cours ne prenne jamais la direction d’une introduction purement informelle. Si bien qu’un pu- blic plus expert s’intéressa au texte et je fus par la suite conduit à développer le contenu jusqu’à inclure quelques éléments surtout destinés à des lecteurs qui se spécialisaient en mathématiques, en avertissant les autres par le symbole ∗. Pour rester cohérent avec mon objectif, je me suis appuyé sur des bases mathématiques modestes : une connais- sance raisonnable de l’analyse des fonctions d’une variable réelle, disons, du théorème des valeurs in- termédiaires jusqu’à la formule de Taylor (qui sera rappelée) et une certaine familiarité avec le calcul matriciel. J’ai inséré d’assez nombreux exercices, souvent élémentaires, y compris dans le cours du texte, dans l’espoir d’aider à la compréhension. J’ai aussi inclus les codes de fonctions SCILAB qui implémentent les algorithmes fondamentaux ; ces codes ne sont pas nécessairement les plus efﬁcaces ni les plus élégants. Mes goût personnels se sont insinués au travers de quelques codes de calculs for- mels adaptés au logiciel MAXIMA ∗. Au ﬁnal, le texte contient un traitement assez substantiel de l’interpolation polynomiale, du cal- cul approché des intégrales et de l’approximation des racines des équations, trois thèmes qui forment souvent l’essentiel d’une introduction à l’analyse numérique. Par contre, les quatrième et cinquième chapitre, consacrés à l’analyse numérique matri- cielle ne sont sans doute que des esquisses. Les exercices donneront aux lecteurs intéressés une ap- proche plus riche du sujet. Les questions de complexité et de stabilité des procédés numériques sont introduites de manière concrète et informelle, et sont abordées chaque fois que c’est possible sans être excessivement tech- nique. J’ai toujours jugé qu’il n’y avait pas de plus décourageante manière de commencer un cours d’analyse numérique que par un chapitre sur l’étude des erreurs. Des versions préliminaires ont été progressive- ment mises en ligne depuis 2008 et y ont été souvent téléchargées, plus de vingt mille fois dans la der- nière année et, dans les deux tiers des cas, hors de France. Il est possible qu’une future seconde édition élargie prenne la forme d’une publication classique si elle existe encore au moment où je l’aurai com- plétée. Foix, Juin 2013 Jean-Paul Calvi † ∗. Les logiciels SCILAB et MAXIMA sont des logiciels libres téléchargeables sur internet et adaptés à tous les systèmes d’exploi- tations †. Université de Toulouse, UPS, Institut de Mathématiques de Toulouse (CNRS UMR 5219), F-31062 Toulouse, France. Cour- riel : jpcmath@netscape.net UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 vi Renvois. Lorsque le texte renvoie à un objet (théorème, section, exercice, etc) du même chapitre, seul le numéro de l’objet est indiqué. Par contre si le texte renvoie à un objet d’un autre chapitre, le numéro du chapitre ap- paraît aussi. Ainsi, si au cours chapitre 2, on renvoie au théorème 20 du chapitre 1, on écrira théorème I.20. Pour utiliser les liens, il sufﬁt de sélectionner le second, ici 20. [TH 0] ANALYSE NUMÉRIQUE CALVI UNIV.JEANPAULCALVI.COM / 1 Table des matières Préface v Table des matières vii Table des codes SCILAB ix Table des codes MAXIMA ix I Interpolation 1 1 INTRODUCTION À L’INTERPOLATION POLY- NOMIALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Le problème général de l’interpolation polyno- miale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Détermination du polynôme d’interpolation . . 3 1.4 Terminologie et notations . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Simpliﬁcation de l’expression de la formule d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . 5 1.6 Propriétés algébriques et linéarité . . . . . . . . 5 2 ALGORITHME DE CALCUL ET EXEMPLES GRAPHIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Algorithme basé sur la formule de Lagrange . . 6 2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Le coût de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 La stabilité de l’algorithme . . . . . . . . . . . 9 2.5 La formule de récurrence de Neville-Aitken . . 10 2.6 L’algorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . 11 2.7 Algorithme de calcul formel . . . . . . . . . . 12 3 ÉTUDE DE L’ERREUR . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 L’énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Le théorème de Rolle généralisé . . . . . . . . 14 3.3 Démonstration du théorème 9 . . . . . . . . . . 14 3.4 Choix des points d’interpolation . . . . . . . . 15 3.5 Précision et nombre de points . . . . . . . . . . 16 4 POLYLIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Approximation des fonctions continûment dé- rivables par les fonctions polylignes . . . . . . 19 4.4 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5 ∗Approximation des fonctions continues par des fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . 22 4.6 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 EXERCICES ET PROBLÈMES . . . . . . . . . . 24 6 NOTES ET COMMENTAIRES . . . . . . . . . . 33 II Intégration 34 1 FORMULES DE QUADRATURES ÉLÉMENTAIRES 34 1.1 L’énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . 34 1.2 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . 35 2 EXEMPLES FONDAMENTAUX . . . . . . . . . 36 2.1 La formule du point milieu . . . . . . . . . . . 36 2.2 La formule du trapèze . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 La formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . 37 3 uploads/Litterature/ analyse-numerique.pdf