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Actes de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique (ICM’15). Constantine,

Actes de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique (ICM’15). Constantine, Algérie. 25-26 Novembre 2015 529 Contribution à la résolution du modèle géométrique inverse des manipulateurs hyper – redondants plans Abdelhakim CHIBANI1,2*, Abdelouahab ZAATRI2, Chawki MAHFOUDI1 1 Département de Génie mécanique, Faculté des Sciences et des Sciences Appliquées. Université Larbi Ben M’Hidi Oum El Bouaghi 2 Département de Génie mécanique, Faculté des Sciences de la Technologie. Université Constantine1 *auteur correspondant : ahchibani@gmail.com Résumé - Dans ce travail on s’intéresse à la résolution du problème géométrique inverse des robots manipulateurs hyper – redondants. Ces derniers possèdent plusieurs degrés de liberté, leur modèle géométrique inverse admet une infinité de solutions. Nous présentons une alternative simple pour la résolution de la redondance des manipulateurs hyper – redondants plans. Deux approches différentes ont été utilisées: la première est basée sur le concept de la jacobiènne pseudo – inverse tandis que dans la deuxième, un schéma d’optimisation déterministe pour un problème non linéaire contraint est utilisé. La résolution utilise la puissante méthode de programmation quadratique SQP. Finalement, des résultats de simulations pour deux études de cas sont présentés pour visualiser les résultats, d’une part, et d’autre part pour prouver l’efficacité de l’approche optimisation. Mots Clés : Manipulateur hyper – redondant, Pseudo – inverse, Optimisation non linéaire. Nomenclature (11 points, 2 colonnes) Rj repère lié à l’articulation j j jième variable articulaire X variation élémentaire des coordonnées opérationnelles J matrice jacobienne † J matrice pseudo-inverse de J P(t) loi de mouvement entre position initiale Pi et finale Pf r(t) polynôme d’interpolation  espace de travail admissible ri vecteur position  vecteur des paramètres d’optimisation F fonction objective globale  fonction objective responsable de l’évitement d’obstacle 1. Introduction Les manipulateurs hyper – redondants (MHR) possèdent un grand nombre de degrés de liberté actionnés dépassant le nombre minimum nécessaire pour accomplir une tache [1]. Les activités de recherche dans le domaine des MHR ont pris deux voies principales : les robots hyper – redondants à liaisons rigides et ceux à structures continues [2]. La première catégorie s’occupe des manipulateurs construit par concaténation d'un grand nombre de liaisons (ou corps) rigides. La deuxième catégorie couvre les manipulateurs avec plusieurs segments souples capables de s’allonger et de se plier (structures bio-inspirées). Dans le présent travail, nous nous concentrons sur une classe de MHR à liaisons rigides de type série. Leurs intéressantes performances ont attirés de nombreux chercheurs à la fois dans la modélisation et la conception. Une considération importante dans la conception des robots hyper – redondants est l'analyse géométrique ; elle est habituellement traitée à partir de deux points Actes de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique (ICM’15). Constantine, Algérie. 25-26 Novembre 2015 530 de vue, directe et inverse ; la seconde est extrêmement importante, car elle permet de calculer les variables articulaires permettant au robot d'approcher un point dans l'espace, en plus de son importance dans le suivit de trajectoires. Cependant, la grande redondance représente une difficulté majeure quant à la modélisation et la commande. En effet, si on considère le modèle géométrique inverse des MHR, il est certain qu’il possède une infinité de solutions et par conséquent, un critère de sélection efficace est requis. Dans ce contexte, plusieurs auteurs ont contribués par diverses méthodes. Une nouvelle méthode géométrique pour résoudre la cinématique inverse des manipulateurs redondants plans à été proposée par [3]. Dans [4] une étude comparative des méthodes d’optimisation pour la résolution de la cinématique inverse d’un MHR modulaire à 10 degré de liberté (DDL) est présentée. Un schéma de commande d’un robot hyper-redondant basé sur des méthodes heuristiques à été proposé par [5]. Les résultats sont comparés avec ceux de la technique de la jacobiènne pseudo-inverse. Dans [6] les auteurs ont utilisés les algorithmes génétiques pour traiter la planification de mouvement optimale des robots redondants. Une approche d’optimisation non linéaire à été utilisée par [7] pour résoudre la cinématique inverse d’un robot redondant à 7 DDL. Dans ce travail, nous présentons une alternative simple pour la résolution de la redondance des MHR plans. Sur la base d’un formalisme d’optimisation non linéaire on détermine les configurations cinématiques optimales c.-à-d. les meilleurs consignes à envoyés aux actionneurs du robot pour exécuter une tâche ou un mouvement tout en minimisant un indice de performance donné. Les résultats seront comparés avec ceux issus d’une approche numérique basée sur le concept de la pseudo – inverse de la matrice jacobiènne. Le papier est organisé en quatre parties et une conclusion générale. La première regroupe, une synthèse géométrique des manipulateurs hyper-redondants plans de type série. La seconde présente la résolution de la redondance cinématique par la méthode de la jacoboiènne inverse et enfin, dans la troisième partie, une approche d’optimisation non linéaire utilisant un schéma déterministe est exposée. Finalement, sur la base des résultats de simulations sur les cas des robots plans 3R et 8R pour différents scénarios, une comparaison entre les deux méthodes est donnée dans la quatrième partie. 2. Description du manipulateur hyper-redondant plan. Le robot plan considéré possède en général N articulations rotoides bondées dans l’intervalle [ min j  max j  ], 1...  j N . L’indice de mobilité étant au maximum égal à 3, le degré de redondance est donc N-3. N+1 repères sont associés à chaque articulation (Figure 1) y compris ceux liés à la base R0 et à l’effecteur terminal (E.T.) RN+1. La description de Denavit – Hartenberg permet de déterminer les paramètres ,  ,  d et r (Tableau 1). 3. Résolution de la redondance par la méthode de la jacobiènne pseudo – inverse. Dans cette section on présente la méthode basée sur la pseudo-inverse de la jacobiènne pour la résolution du modèle géométrique inverse des MHR plans Actes de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique (ICM’15). Constantine, Algérie. 25-26 Novembre 2015 531 Figure 1 : Modèle 2D du manipulateur hyper-redondant. 4. Modèle différentiel et expression analytique de la jacobiènne. Le modèle différentiel direct qui donne les variations élémentaires X en fonction des coordonnées articulaires  s’exprime par :      X J (1) Où ( )  J désigne la matrice jacobiènne de dimension   M N  du mécanisme, égale à X    et fonction de la configuration articulaire . L’inverse de J permet d’écrire : 1    J X  (2) L’expression analytique de J est donnée par la matrice des dérivées partielles du premier ordre des variables articulaires en fonction des coordonnées opérationnelles de l’E.T.   , , . x y p p  1 2 1 2 1 2 x x x N y y y N N p p p p p p                                                 J (3) 5. Méthode de résolution La matrice jacobiènne (équation 3) est non carrée et doit être inversée ; mais il lui correspond une infinité d’inverse généralisées. Les solutions du système 1    J X  s’écrivent :   † † N     J X + I J J Z  (5) Où † J désigne la pseudo-inverse de J et Z représente un vecteur arbitraire de dimension (Nx1). Le second terme du membre de droite n'affecte pas la valeur de X et peut être utilisé pour satisfaire des contraintes d'optimisation supplémentaires. Pour choisir une solution nous pouvons poser Z = 0. Ce choix signifie que le déplacement †   J X  est minimisé à chaque itération. Sous la condition que rang(J) = M [8], la pseudo – inverse est calculée par : Tableau 1 : Paramètres géométriques de Denavit Hartenberg. Transformations j j  j d j r 0 1  1  0 0 0 1 2  2  0 0 L1 2 3  3  0 0 L2 … … … … … 1  N N N 0 0 LN-1 1   N N 0 0 0 LN Actes de la 2ème Conférence Internationale de Mécanique (ICM’15). Constantine, Algérie. 25-26 Novembre 2015 532   1 † T T   J J JJ (6) La matrice T JJ est carrée, de dimension 3 et elle doit être régulière. A chaque itération k : 1 k k k       (7) Les coordonnées articulaires calculées doivent correspondre à des valeurs qui respectent les contraintes mécaniques de chaque articulation. 5.3.1. Génération de mouvement. Les trajectoires adoptées sont modélisées sous formes de tâches continues et linéaires afin d’obliger le robot à suivre un mouvement continu. Pour définir la trajectoire en fonction du temps entre une position initiale Pi et une position finale Pf, une loi possible [9] consiste à utiliser une interpolation polynomiale de degré 3.       2 3 ( ) ( ) uploads/Litterature/ article-5.pdf