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Algebre tome 1 1 C CALGÈBRE Tome GROUPES CORPS ET THÉORIE DE GALOIS Daniel Guin ?? Thomas Hausberger Collection dirigée par Daniel Guin avenue du Hoggar Parc d ? activités de Courtab ?uf BP Les Ulis Cedex A France CÀ propos de la couverture Le groupe d ??

C CALGÈBRE Tome GROUPES CORPS ET THÉORIE DE GALOIS Daniel Guin ?? Thomas Hausberger Collection dirigée par Daniel Guin avenue du Hoggar Parc d ? activités de Courtab ?uf BP Les Ulis Cedex A France CÀ propos de la couverture Le groupe d ??e Galois de l ? équation x ?? corps K Q i engendré sur Q par les racines est le groupe ??de compl ??exes ?? Ga ??lois G i du Gal K Q du polynôme x ?? Il existe un ??élémen ??t ? de G dé ?ni par ? i i et ? i et un élément dé ?ni par i ??i et Ces deux éléments engendrant G on voit que le groupe de Galois est isomorphe au groupe diédral D des isométries du carré Les sous-corps de K correspondent aux sous-groupes de G par la correspondance de Galois par exemple à H ? correspond le sous-corps Q i des invariants de K sous l ? action de H On peut représenter les inclusions entre les groupes et les extensions de corps par les diagrammes ci-dessous o? chaque èche représente une inclusion ?? Q i ?? dIIiIiIIiIiIiIiIQii i ?? ?? O i i iqqiqqiqqiqqiqqiqqqqiKqq qqqqQ Qi OO ??i gPgP PP PPPPkWPPWPPWPPWPPWPPWPPQPPWPPW W WW W ??O Wi W ??W Wn Wn WnWnnWnWnWnWnQnn ?? i ?? Q Nf NNNNNNNNNNNQQ O i nnnnnnnnnnnnnn Q i rrrrrrrrDrr O ? Mf MMMMMMMMM wwwwwwwww ? O eLLLLLLLLL ?L O Z r rZrrrrrrrrr ? O ? dIIIIIIIII ? jUUUUUUUUU UULe ULULULULLULULULULULUL ?O e qiqiqiqiqiqiqiqiqiqiqi i ?i iiiiiiiii ? Cette correspondance renverse le sens des inclusions donc celui des èches On peut se représenter les deux diagrammes comme deux arbres qui seraient re et l ? un de l ? autre dans l ? esprit de la gravure les mondes ? d ? Escher L ? équation x ?? est le trait d ? union entre le monde des groupes et celui des corps Peut-être le troisième monde est-il celui de l ? esprit du mathématicien dont l ? inspiration et la raison ont fait na? tre les concepts en se heurtant aux contingences de l ? univers mathématique Le groupe de Galois est le groupe des relations rationnelles entre les racines par rapport au corps de base Q Il est trivial lorsque toutes les racines sont di ?érenciées sur la base Faire une extension par exemple adjoindre le nombre imaginaire i permet de regrouper les racines en catégories selon qu ? elles sont invariantes sous ? ou pas C ? est l ? idée qui a guidé Galois lors de l ? élaboration de son traité sur la résolution des équations briser progressivement les symétries entre les racines Ces travaux ont permis de faire émerger les structures contemporaines de groupe et de corps CAlgèbre T En général les formules donnant les racines ne sont pas connues La connaissance du groupe de Galois nous renseigne sur leur expression Lorsque le groupe est résoluble c ? est-à-dire lorsqu ? il existe une suite G G Gn