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Université Abdou Moumouni de Niamey Faculté des Sciences et Techniques Département de mathématiques et informatique L3 mathématique, 2021-2022 Travaux dirigés : Équations Diérentielles Ordinaires (Fiche 3) Exercice 1 : 1. Soient f, g : R2 →R deux fonctions de classe C1. On considère le système diérentiel :  x′(t) = x(t)f(x(t), y(t)) y′(t) = y(t)g(x(t), y(t)) (1) a) Rappeler pourquoi, pour tout (x0, y0) ∈R2, il existe T > 0 et x, y :] −T, T[→R un couple unique de fonctions de classe C1 solutions sur ] −T, T[ de (1) avec x(0) = x0, y(0) = y0. (2) b) Montrer que s'il existe t0 ∈] −T, T[ en lequel x est nulle alors la fonction x est identiquement nulle sur ] −T, T[. c) En utilisant b) par exemple, prouver l'implication suivante : (x0 > 0) = ⇒(∀t ∈] −T, T[, x(t) > 0). Montrer que la même propriété est aussi vraie pour la solution t →y(t). 2. On pose f(x, y) = cos(x + y), g(x, y) = sin(x + y). a) Montrer que, pour toute donnée (x0, y0), le système (1) admet une solution sur R tout entier satisfaisant (2). On la note (x(t), y(t)). On suppose désormais x0 > 0, y0 > 0, et donc d'après 1c), on a, pour tout t, x(t) > 0, y(t) > 0. On considère l'ensemble ∆= {(x, y) ∈R2, x > 0, y > 0, π 2 < x + y < π}. b) Montrer que ((x0, y0) ∈∆) = ⇒(∀t ∈[0, +∞[, (x(t), y(t)) ∈∆). Indication : Remarquer que, si en un point t0 > 0, x(t0)+y(t0) = π avec x(t0) > 0, y(t0) > 0, alors (x + y)′(t0) < 0 et en déduire que la solution ne peut pas sortir de ∆en un tel point de son bord. Puis examiner de façon analogue les autres parties du bord de ∆. c) Montrer que pour tout (x0, y0) dans ∆, les fonctions x, y sont monotones sur [0, +∞[ et convergent lorsque t tend vers l'in ni vers des valeurs qu'on précisera. 1 Exercice 2 : On considère l'équation diérentielle du second ordre x′′ −a(t)x′ −b(t)x = 0 (E) dé nie sur un intervalle I de R, a et b sont des applications continues de I dans R. 1. Véri er que, pour tout t0 de I et tout (α, β) de R2, il existe une unique solution maximale f : I →R de l'équation (E) telle que f(t0) = α et f ′(t0) = β. Montrer que l'ensemble des solutions de (E) est un sous espace vectoriel de dimension deux de l'espace des applications dérivables I dans R. 2. On suppose que a2(t) ≤4b(t), ∀t ∈I. a) Si f est une solution maximale de (E), véri er que (f 2)′′ ≥0. En déduire que, si f n'est pas identiquement nulle, f a au plus un zéro dans I. b) Soient f et g deux solutions maximales linéairement indépendantes. Véri er que si t1 ̸= t2 alors f(t1)g(t2) ̸= f(t2)g(t1). En déduire que, pour tout (α1, α2) de R2, il existe une unique solution maximale f de (E) véri ant f(t1) = α1 et f(t2) = α2. Exercice 3 : Intégrer les systèmes diérentiels suivants : 1.    x′(t) = 4x(t) + y(t) + 2z(t) y′(t) = −x(t) + y(t) −z(t) z′(t) = −2x(t) −y(t) 2.    x′(t) = x(t) + y(t) −2z(t) y′(t) = 2y(t) −2z(t) z′(t) = x(t) 2 uploads/Litterature/ travaux-diriges-equations-dierentielles-ordinaires-fiche-3 1 .pdf

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