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ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 4 Inductances et bobine

ELECTROTECHNIQUE Électromagnétisme Michel PIOU Chapitre 4 Inductances et bobines Édition 29/05/2010 Extrait de la ressource en ligne MagnElecPro sur le site Internet Table des matières 1 POURQUOI ET COMMENT ? .................................................................................................................1 2 INDUCTANCES ET BOBINES.................................................................................................................2 2.1 Inductance (ou auto-inductance ou self-inductance ou inductance propre)................................2 2.2 Différents modèles pour une bobine à noyau ferromagnétique...................................................4 2.3 Bobine avec composante continue de la tension ou du courant. ...............................................11 3 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE...............................................................................................12 4 PROBLEMES ET EXERCICES...............................................................................................................13 Chap 4. Exercice 1 : Inductance propre........................................................................................13 Chap 4. Exercice 2 : Calcul d’une inductance de lissage. ............................................................14 Chap 4. Exercice 3 : Energie emmagasinée dans un circuit magnétique ....................................15 Chap 4. Exercice 4 : Justification de la constitution d’une inductance de lissage .......................17 5 REPONSES DU CHAPITRE INDUCTANCES ET BOBINES.........................................................................20 Copyright : droits et obligations des utilisateurs Ce document est extrait de la ressource MagnElecPro qui est disponible en version numérique sur le site Internet IUT en ligne Je ne renonce pas à ma qualité d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de la publication de mon document. Les utilisateurs sont autorisés à faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de ce document et de la ressource MagnElecPro, notamment dans les activités d'enseignement, de formation ou de loisirs. Tout ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - en tout état de cause, une copie ne peut pas être facturée à un montant supérieur à celui de son support. Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de façon lisible le nom de l’auteur Michel Piou, la référence à MagnElecPro et au site Internet IUT en ligne. Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes - FRANCE MagnElecPro Chapitre 4 :Inductances et bobines - 1 1 POURQUOI ET COMMENT ? Dans les deux premiers chapitres nous avons abordé les notions théoriques indispensables pour parvenir aux applications concrètes. Il s’agissait principalement de la conservation du flux du champ d’induction magnétique, de la loi de Faraday, du théorème d’Ampère et des règles d’orientation associées. Nous allons maintenant étudier diverses façons de décrire le comportement d’un bobinage (1). On trouve des bobinages dans les inductances, les transformateurs ou les moteurs électriques. Prérequis : La maîtrise des chapitres 1 et 2 est indispensable. Objectifs : Les bobinages, associés ou non à des circuits magnétiques sont des objets dont le comportement peut être compliqué. Notre objectif va être d’associer à ces objets des modèles décrivant ce comportement. Un modèle est une description plus ou moins simplifiée du comportement réel d’un objet. Ce chapitre présente les modélisations les plus couramment associées aux bobinages. Le terme “ inductance ” désigne le modèle le plus simple qu’on associe à une bobine. Méthode de travail : La notion de « modèle » sera au cœur de ce chapitre. La modélisation par « inductance » qui sera suivie dans le chapitre suivant par la notion « d’inductances mutuelles » nous conduira ensuite à la modélisation des transformateurs et des moteurs électriques. Elle ne constitue donc pas un gadget qui ne servirait à rien, mais, bien au contraire, un élément essentiel de notre progression. Il ne faudra donc pas se contenter « d’avoir entendu parler de …». En fin de chapitre, le paragraphe intitulé “ ce que j’ai retenu de ce chapitre ” permettra de vérifier individuellement que les connaissances essentielles ont bien été acquises. Travail en autonomie : Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont données en fin de document. (1)Le terme “ bobine ” ou “ bobinage ” désigne l’objet technique (enroulement d’un fil conducteur qui constitue une ou plusieurs spires). MagnElecPro Chapitre 4 :Inductances et bobines - 2 2 INDUCTANCES ET BOBINES. 2.1 Inductance (ou auto-inductance ou self-inductance ou inductance propre) 2.1.1 Définition d’une inductance propre. Soit une bobine de N spires parcourue par un courant i. i * Ce courant i engendre une induction, et donc un flux dans les spires de cette bobine. Si on retient les hypothèses simplificatrices suivantes: • Absence de tout champ d’induction magnétique d’origine extérieure à la bobine. • Pas de phénomène de saturation magnétique. Le circuit magnétique éventuel est tel qu’on pourra lui appliquer l’hypothèse linéaire ( r r B H = µ. ). Dans ces conditions, l'induction magnétique en tout point de l'environnement de la bobine (et donc le flux dans celle-ci) est proportionnelle au courant i qui la traverse. ⇒ φ = L.i = flux total dans les N spires de la bobine (2). L est un coefficient de proportionnalité entre le flux total φ et le courant i. Il est appelé "inductance propre". (3) L'unité d'inductance est le Henry (symbole H). 2.1.2 1° Exemple de calcul d’une inductance propre: Soit un bobinage de 5 spires carrées de 4 cm de côté parcouru par un courant “ i ” de 15 A et placé dans l’air en dehors de toute influence magnétique extérieure. Le comportement magnétique de celui-ci a été simulé afin de calculer le flux dans chacune de ses spires. (Les spires étant proches les unes des autres, chacune d’elles constitue presque une boucle fermée. On peut donc calculer le flux qui la traverse). (2)Dans ce cours: ϕ désignera toujours pour nous le flux dans 1 spire du bobinage (ou le flux dans une section du circuit magnétique) et φ le flux total dans le bobinage. (3) « propre » dans le sens de « par elle-même ». En anglais : « self » MagnElecPro Chapitre 4 :Inductances et bobines - 3 La simulation a permis d’obtenir la valeur du flux dans chacune des 5 spires (numérotées ci-contre de 1 à 5) pour un courant de 15 A dans celles-ci: 1 2 3 4 5 15 A ϕ ϕ ϕ 1 6 2 6 3 6 1 56 10 1 80 10 1 87 10 = = = − − − , . , , . , . ... Wb Wb Wb En raisonnant sur la symétrie du montage, déterminer ϕ 4 et ϕ 5. En déduire le flux total dans le bobinage. Calculer l’inductance propre de ce bobinage. (Réponse 1:) 2.1.3 2em exemple de calcul d’une inductance propre: 1 2 3 4 5 15 A Le bobinage précédent a été monté sur un circuit magnétique qui, malgré un petit entrefer, canalise assez bien les lignes de champ. Comme précédemment, la simulation a permis d’obtenir la valeur du flux dans chacune des 5 spires pour un courant de 15 A: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 2 3 4 5 5 475 10 = = = = = − , . Wb On constate que dans ce cas particulier, le flux total est égal au flux dans une spire multiplié par le nombre de spires. Calculer la nouvelle inductance propre du bobinage. (Réponse 2:) 2.1.4 Relation tension courant dans une inductance. Si les hypothèses suivantes sont vérifiées: • Absence de tout champ d’induction magnétique d’origine extérieure à la bobine. • Le circuit magnétique éventuel est tel qu’on pourra lui appliquer l’hypothèse linéaire ( r r B H = µ. ). • Circuit magnétique indéformable (⇒ l’inductance du bobinage est constante). Pour une bobine de résistance interne r, orientée en convention récepteur. La loi de Faraday permet d’écrire: u i * n u t r ( ) .i t e t r t d t dt r t L di t dt ( ) ( ) .i( ) ( ) .i( ) . ( ) = − = + = + φ Si on néglige la résistance ⇒ u t L ( ) . = di t dt ( ) Attention : Cette dernière relation n’est vraie que si toutes les hypothèses précédentes sont vérifiées ! MagnElecPro Chapitre 4 :Inductances et bobines - 4 Une bobine indéformable isolée de toute influence magnétique extérieure, présentant une résistance interne négligeable et telle qu’on puisse appliquer à son circuit magnétique l’hypothèse linéaire peut donc être modélisée par une inductance “ L ”. 2.1.5 Exemple de calcul “ à la main ” Le circuit magnétique ci-contre est constitué d'un tore de matériau ferromagnétique isotrope non saturé de perméabilité magnétique absolue µ supposée constante. s l B u i N spires Il présente une section droite S, traversée par un flux ϕ. La longueur de sa fibre moyenne est : l. Il est équipé d'un bobinage de N spires parcourues par un courant i. Ce bobinage est supposé "sans fuites", c'est à dire que tout le flux créé par celui-ci passe dans le tore. L’ensemble est indéformable. La résistance du fil est négligée. Avec les hypothèses simplificatrices usuelles: Exprimer le flux ϕ(t) dans une section S en fonction de i(t) et des paramètres du montage. En déduire l'inductance L de ce bobinage. (Réponse 3:) 2.2 Différents modèles pour une bobine à noyau ferromagnétique. Dans les chapitres précédents, nous avons toujours considéré les bobines sans tenir compte de leurs imperfections (résistance des conducteurs, fuite d'induction dans le circuit magnétique, non-linéarités dues à la saturation ou influence uploads/Litterature/ chap04-inductances.pdf