Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre 1 : Systèmes de Numération et Codage des Nombres ASSABAA Mohamed Insti

Chapitre 1 : Systèmes de Numération et Codage des Nombres ASSABAA Mohamed Institut des Sciences et Techniques Appliquées (ISTA) UFMC1 1.0 Avril 2018 Table des matières Objectifs 4 Introduction 5 I - Systèmes de Numération 6 1. Système Décimal ............................................................................................................................................ 6 1.1. Conversion du système Décimal vers une base quelconque ........................................................................................................... 6 2. Système Binaire .............................................................................................................................................. 6 2.1. Conversion Binaire décimal ......................................................................................................................................................... 7 2.2. Exercice ....................................................................................................................................................................................... 7 2.3. Conversion décimal binaire .......................................................................................................................................................... 8 2.4. Exercice ....................................................................................................................................................................................... 9 2.5. Autres conversions ..................................................................................................................................................................... 10 3. Système Octal ............................................................................................................................................... 10 4. Système Hexadécimal ................................................................................................................................... 10 5. Exercice ........................................................................................................................................................ 11 6. Exercice : Exercice : ..................................................................................................................................... 11 II - Codage des nombres 12 1. Code binaire pur ........................................................................................................................................... 12 2. Code "8421" .................................................................................................................................................. 12 3. Code BCD (Binary Coded Decimal) ............................................................................................................. 12 4. Exercice ........................................................................................................................................................ 13 5. Code Hexadécimal ........................................................................................................................................ 13 III - Les opérations arithmétiques 14 1. Addition ........................................................................................................................................................ 14 2. Exercice ........................................................................................................................................................ 15 3. Soustraction .................................................................................................................................................. 15 3.1. Soustraction en complément à 2 ................................................................................................................................................. 16 4. Exercice ........................................................................................................................................................ 16 5. Multiplication ................................................................................................................................................ 16 6. Exercice ........................................................................................................................................................ 17 7. Division ......................................................................................................................................................... 17 8. Exercice ........................................................................................................................................................ 18 IV - Exercice : 19 Solutions des exercices 20 Bibliographie 23 4 À l'issue de ce cours l'apprenant sera capable de : Faire une conversation entre les différentes bases. Traiter des opérations arithmétiques et faire des calculs dans des bases appropriées. Faire le codage des entiers naturels et des entiers signés en complément à 2 Connaître différents systèmes de codage Pré-requis : Mathématique Objectifs 5 Pour qu'une information numérique soit traitée par un circuit, elle doit être mise sous forme adaptée à celui-ci. Pour cela Il faut choisir un système de numération de base B (B un nombre entier naturel >= 2). De nombreux systèmes de numération sont utilisés en technologie numérique. Les plus utilisés sont les systèmes : Décimal (base 10), Binaire (base 2), Octal (base 8) et Hexadécimal (base 16). De manière générale l'expression d'un nombre en base B est de la forme: (N) =a a ... a , a ... a B n n-1 0 -1 -m ...............(1) où chaque coefficient a est un chiffre dont sa valeur comprise entre 0 et (B-1) i Tout nombre N peut se décomposer en fonction des puissances entières de la base de son système de numération. Cette décomposition s'appelle la forme polynomiale du nombre N et qui est donnée par : (N) =a B +a B + ... +a B +a + a B + ... a B B n n n-1 n-1 1 1 0 -1 -1 -m -m ...............(2) Introduction Systèmes de Numération 6 1. Système Décimal C'est le système de numération usuel dans la vie quotidienne. Dans ce système , tout nombre N est exprimé à partir des dix chiffres : 0, 1, 2, ..., 9. On dit alors que la base de numération est B=10. Exemple : Le nombre 1356,724 correspond à : 1356,724=1000+300+50+6+0.7+0.02+0.004 1356,724=10 +3*10 +5*10 +6*10 +7*10 +2*10 +4*10 3 2 1 0 -1 -2 -3 Alors: (1356,724) =1*B +3*B +5*B +6*B +7*B +2*B +4*B 10 3 2 1 0 -1 -2 -3 avec B=10. 1.1. Conversion du système Décimal vers une base quelconque Pour convertir un nombre de la base 10 vers une base B quelconques, il faut faire des divisions successives par B et retenir à chaque fois le reste jusqu'à l'obtention à un quotient inférieur à la base B, dans ce cas le nombre s'écrit de la gauche vers la droite en commençant par le dernier quotient allant jusqu'au premier reste. 2. Système Binaire Dans ce système de numération, tous les nombres sont exprimés à l'aide des chiffres 0 et 1, ces deux chiffres sont appelés bits (contraction de nary digi ). BI T Pour le système Binaire la base de numération est B=2. les coefficients : a : 0, B-1 →0,1 i Cette base est très pratique en électronique numérique pour distinguer deux états logiques. On écrit : (a a ... a ) =a 2 +a 2 + ... +a 2 +a 2 n n-1 0 2 n n n-1 n-1 1 1 0 0 La partie droite de l'équation donne la valeur en décimal du nombre binaire écrit à gauche. Systèmes de Numération I Conversion Binaire décimal 7 - - a : Le bit le plus à droite est le bit de poids le plus faible ou bien le moins significatif ( : ow 0 LSB L S ignificant it). B a : Le bit le plus à gauche est le bit de poids le plus fort ou bien le plus significatif ( : ost n MSB M S ignificant it) B Exemple: (1011,01) =1*2 +0* 2 +1*2 +1* 2 +0*2 +1*2 2 3 2 1 0 -1 -2 Le passage du système binaire au système décimal s'appelle un décodage, et le passage du système décimal au système binaire s'appelle codage, de façon global : Le passage d'un système vers un système s'appelle un . X Y transcodage 2.1. Conversion Binaire décimal Pour convertir un nombre binaire en décimal, il suffit d'utiliser la relation (2) en posant B=2 : (N) =a B +a B + ... +a B +a + a B + ... a B 10 n n n-1 n-1 1 1 0 -1 -1 -m -m (N) =a 2 +a 2 + ... +a 2 +a + a 2 + ... a 2 10 n n n-1 n-1 1 1 0 -1 -1 -m -m Exemple : Convertir en décimal le nombre binaire (11010)2 (11010) =1*2 +1*2 +0*2 +1*2 +0*2 2 4 3 2 1 0 (11010) =16+8+2 2 (11010) =(26) 2 10 (110001,001) =1*2 +1*2 +0*2 +0*2 +0*2 +1*2 +0*2 +0*2 +1*2 2 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 (110001,001) =32+16+1+0.125 2 (110001,001) =(49,125) 2 10 2.2. Exercice Quelle est la valeur décimale qui correspond à la valeur binaire 110001 ? Veuillez choisir une réponse :  87  49  32 [ ] solution n°1 * [ ] p.20 8 2.3. Conversion décimal binaire 2.3.1. Conversion de la partie entière d'un nombre la méthode des divisions successives consiste à diviser successivement par 2, le nombre décimale à convertir jusqu'à ce que le résultat de la division soit un zéro. le nombre binaire correspondant sera la succession des restes obtenus. le bit de poids le plus élevé de ce nombre, étant le reste de la dernière division. Exemple : (27) =(11011) 10 2 le reste de la dernière division sera écrit le premier (sens de lecture). Pour utiliser cette méthode, on doit déterminer en premier lieu, les valeurs successives 2 (i=0,...,n), on i déterminera ensuite, entre quelles valeurs successives de 2 se situe le nombre à convertir. La borne inférieure i est alors soustraite au nombre. On procède de la même manière avec le reste obtenu, jusqu'à ce que l'on obtienne zéro comme reste de la soustraction. la valeur binaire sera 1 à la position du poids utilisé dans la soustraction, et 0 à la position des poids non utilisés. Pour la conversion décimal vers un autre système de numération, le procédé est identique. On établit toujours en premier lieu les valeurs successives de B ; B étant la base de numération du système considéré. i En utilisant la méthode des soustractions successives, convertir le nombre décimal (230) en binaire : 10 Le résultat est donc : (230) = (11100110) 10 2 2.3.2. Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre On multiplie successivement par 2 la partie fractionnaire jusqu’à ce que l'on obtienne un nombre entier, on arrête les calculs. A chaque multiplication, on prend en compte que la partie entière obtenue. Méthode : Méthode des division successives Méthode : Méthode des soustractions successives Remarque Exemple Exercice 9 - - Lorsque la multiplication successive par 2, ne donne pas 1 après plusieurs multiplication, on arrête les calculs. Pour la partie entière, on procède par divisions comme pour un entier. Soit à convertir le nombre (462 ,625) vers une la base 2.Pour résoudre ce problème il faut procéder comme 10 suit : Convertir la partie entière (462) Convertir la partie fractionnaire en faisant des multiplications successives par 2 et en conservant à chaque fois le chiffre devenant entier. (462,625) = ( ?) 10 2 (462) =(111001110) 10 2 0,625*2=1,25 0, 25*2= 0,5 0, 5*2= 1,0 Le résultat est donc : (462, 625) =(111001110,101) 10 2 (12,15) = ( ?) 10 2 (12) =(1100) 10 2 0,1 5*2= 0,3 0 ,3*2=0,6 0 ,6*2=1,2 0 ,2*2=0,4 0 ,4*2=0,8 0 ,8*2=1,6 0 ,6*2=1,2 Le résultat est donc : (12, 15) = (1100, 001001...) 10 2 2.4. Exercice Remarque Exemple Quelle est la valeur binaire qui correspond à la valeur décimale 12 ? Veuillez choisir une réponse :  1100  1010  0111 [ ] solution n°2 * [ ] p.20 Autres conversions 10 - - - 2.5. Autres conversions Pour faire La conversion d'un nombre d'une base quelconque B vers une autre base B il faut passer par la 1 2 base 10. Mais si la base B et B s'écrivent respectivement sous uploads/Litterature/ chapitre2-systemes-de-numeration-et-codage-des-nombres-2eme-seance-jeudi-03-12-20-pmi-et-ts-s1.pdf