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Analyse 3 Table des matieres Int Pleaseinsertintopreamble grales doubles et triples Int ?egrales doubles D ?efinition Interpr ?etation g ?eom ?etrique de l ? int ?egrale double Propri ?et ?es des int ?egrales doubles Th ?eoreme de Fubini sur un rectangle

Table des matieres Int Pleaseinsertintopreamble grales doubles et triples Int ?egrales doubles D ?efinition Interpr ?etation g ?eom ?etrique de l ? int ?egrale double Propri ?et ?es des int ?egrales doubles Th ?eoreme de Fubini sur un rectangle Th ?eor eme de Fubini sur un domaine quelconque Changement de variables dans une int ?egrale double Int ?egrales triples Chapitre CInt ?egrales doubles et triples Int ?egrales doubles D ?e ?nition Soit D ? R un ensemble born ?e et P un pavage de D donc D ??ni Ki Soit f une fonction d ?e ?nie sur D on appelle somme de Riemann associ ?ee a f eta P tout r ?eel s de la forme Cs Xn i f xi yi Ai o u Ai est l ? aire de Ki xi yi est un point de Ki Si lim n ? ? s existe on dira alors que f est int ?egrable sur D et on ?ecrit ZZD f x y dxdy lim n ? ? Xn i f xi yi Ai Proposition Toute fonction continue et born ?ee sur D domaine born ?e de R est int ?egrable sur D Interpr ?etation g ?eom ?etrique de l ? int ?egrale double Corollaire RRDf x y dxdy Volume ? alg ?ebrique ? sous le graphe de f RRD f x y dxdy Volume sous le graphe de f C Propri ?et ?es des int ?egrales doubles Pour tout ? ?? R on a ZZD y dx dy Z Z D ? ?f g x f x y dx dy ZZD dy g x y dx Si D D ?? D et D ?? D est une courbe ou point ou vide alors Z Z D f x y dx Z Z D f x y dx Z Z D f x y dx dy dy dy Z ZDf x y dx dy ? Z ZD f x y dx dy Si f x y ? g x y pour tout x y ?? D alors Z Z D f x y dx Z Z D g x y dx dy ? dy Th ?eor eme de Fubini sur un rectangle CTh ?eor eme Soit f une fonction continue sur un rectangle D a b ? c d on a Z Z D f x Z b a y dx dy Z dc f x y dy dx Z b a y dx dy Z d c f x Exemple Calculer Z Z les int ?egrales suivantes ZZ I x y dx dy Solution sin x y dx dy I ? ? ? ? ZZ I Z ? ? ? ? Z ? sin x y dx dy Z ? sin x dy y dx y ? dy ?? cos x dy ?? Z ? cos ? y ?? cos y ?? sin ? y ?? sin y ? Z I Z x y dy dx ?? Z x y dx ?? Z x ?? x ?? ln x