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Annales hec 2008 a 2011 BCE BANQUE COMMUNE D ? EPREUVES Conceptions H E C - E S C P- E A P OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUES II Mercredi mai de h à h La présentation la lisibilité l ? orthographe la qualité de la rédaction la clarté et la précision des r

BCE BANQUE COMMUNE D ? EPREUVES Conceptions H E C - E S C P- E A P OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUES II Mercredi mai de h à h La présentation la lisibilité l ? orthographe la qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs Ils ne doivent faire usage d ? aucun document l ? utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite Seule l ? utilisation d ? une règle graduée est autorisée L ? épreuve est constituée de quatre exercices indépendants Exercice Dans cet exercice on note ln le logarithme népérien Pour tout entier naturel n on pose un xn ?? x dx et donc en particulier on a u Véri ?er que pour tout réel x di ?érent de et de ?? on a ?? x ? ??x ? x ?? x dx On considère les trois fonctions f g et h dé ?nies sur par f x ln ?? x g x ln x et h x ln ?? x a Calculer pour tout x de les dérivées f x et g x b Exprimer pour tout x de h x en fonction de f x et g x c En déduire pour tout x de la dérivée h x Déduire des questions a et c respectivement que l ? on a u ln et u ln a Montrer pour tout entier naturel n l ? égalité suivante un ?? un n n b En déduire les valeurs de u et de u a Montrer que la suite un est décroissante b Montrer que pour tout entier naturel n on a un ? c En déduire que la suite un est convergente a Montrer que pour tout x de on a ?? x ? Cb En déduire pour tout n de N l ? inégalité suivante un ? n n c Quelle est la limite de la suite un n On pose pour tout entier naturel n Sn uk c ? est-à-dire Sn u u un k a Donner pour tout réel x di ?érent de l ? expression sous forme de fraction de la somme x xn b Établir l ? égalité Sn ?? x ?? x dx ?? ?? xn x ?? x dx c Établir pour tout entier naturel n l ? encadrement suivant ? ?? xn x ?? x dx ? un d En déduire l ? expression de la limite de Sn quand n tend vers ? sous la forme d ? une intégrale e En réduisant au même dénominateur pour tout réel x de l ? intervalle l ? expression ?? x ?? x x déduire de la question d la valeur de lim n ? ? Sn Exercice F EB F F F EB F F F ED F F F ED F F On considère