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Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme Correct

Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme Correction - TD n ˚ 7 - Equations locales de l’électromagnétisme 1 Conservation de la charge en présence de sources et de puits de charges Considérons un volume élémentaire (V) ﬁxe limité par une surface fermée (Σ). Cherchons à exprimer la conservation de la charge traversant la surface (Σ) ﬁxe en présence d’une source de charges avec un débit Dqsource = Isource et un puits de charges avec un débit Dqpuits = Ipuits. j dS (V) (Σ) ext • Ecrivons tout d’abord la charge sous forme d’une intégrale sur le volume : q(t) = y (V ) ρ(M, t)dτM La variation de charge contenue dans (Σ) entre les instant t et t + δt est égale à 1 : δq(Σ) = q(Σ)(t + δt) −q(Σ)(t) = dq(Σ) dt δt = δt ∂ ∂t   y (V ) ρ(M, t)dτM   L’intégration se fait sur les variables d’espace uniquement. Or celles-ce sont indépendantes du temps car la surface est ﬁxe, et on peut donc intervertir dérivée et intégrale triple pour obtenir : δq(Σ) = δt y (V ) ∂ρ(M, t) ∂t dτM (1) • Sachant qu’il y création, et disparition de charges dans le volume (V), la variation de charge dans le volume (V) est égale à la charge qui entre algébriquement 2 dans (V) en traversant (Σ), plus les charges créées, moins les charges disparues, entre les instants t et t + δt : δq(Σ) = Ientrantδt + Isourceδt −Ipuitsδt =  Isource −Ipuits − { (Σ) − → j · − → dSext  δt où la normale − → dSext est orientée vers l’extérieur, par convention pour une surface fermée. 1. La première étape correspond en fait à un développement limité au premier ordre en t de la masse. 2. La charge δq(Σ) est comptée positivement si elle entre eﬀectivement dans (V), et négativement si elle sort eﬀectivement de (V). PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme Aﬁn de réexprimer cette intégrale double, appliquons le théorème d’Ostrogradsky au vecteur − → j pour la surface fermée (Σ) : { (Σ) − → j · − → dSext = y (V ) Div− → j dτ On en déduit donc : δq(Σ) =  Isource −Ipuits − y (V ) Div− → j dτ  δt (2) En identiﬁant les deux expressions de δq(Σ), on obtient : y (V ) [ ∂ρ ∂t + Div− → j ] dτ = Isource −Ipuits Cette équation exprime la conservation globale de la charge dans le volume (V). 2 Relations de passage au niveau de densité surfaciques de charge et de courant 1. Considérons une surface en forme de "boîte de camembert" avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de surface δS suﬃsamment petite pour que toutes les grandeurs puissent être uniformes autour du point A. On applique le théorème de Gauss en régime stationnaire avec cette surface de Gauss : (Σ) js σ n12 milieu 1 milieu 2 A A Φtot = Φ1 + Φ2 + Φlat = Qint ε0 = σS ε0 avec        Φ1 = −− → E 1n · δS− → n 12 = −E1nδS Φ2 = − → E 2n · δS− → n 12 = E2nδS Φlat = − → E t · δSlat− → n lat = EtδSlat En faisant tendre l’épaisseur de la "boîte de camembert" vers 0, le terme Φlat tend vers 0. De plus, les valeurs des champs sont maintenant prises en A, point de la surface (Σ). On obtient donc : E2n(A) −E1n(A)δS = σ(A)δS E0 En divisant par δS et sachant que toutes les grandeurs sont suivant le vecteur − → n 12 : − → E 2n(A) −− → E 1n(A) = σ(A) E0 − → n 12 2. Considérons un contour orienté "à cheval" sur la surface (Σ) de longueur dL selon la parallèle à la surface (Σ), et de longueur dℓselon la perpendiculaire à la surface, suﬃsam- ment petit pour que les grandeurs puissent être considérées comme uniformes autour du point A. (Σ) js σ n12 milieu 1 milieu 2 A 12 A PSI - Année 2010/2011 2 Lycée Paul Eluard Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme On applique la loi de Faraday au contour en faisant tendre dℓvers 0, et donc la circulation du champ sur la longueur dℓtend vers 0 : E2t(A)dL −E1t(A)dL = 0 En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient : − → E 2t(A) −− → E 1t(A) = − → 0 3. Considérons à nouveau une surface en forme de "boîte de camembert" avec deux faces parallèles à la surface (Σ) de surface δS suﬃsamment petite pour que toutes les grandeurs puissent être uniformes autour du point A. (Σ) js σ n12 milieu 1 milieu 2 A A En utilisant le fait que − → B est à ﬂux conservatif, on obtient, en faisant tendre à nouveau l’épaisseur de la boîte vers 0 de sorte que le ﬂux à travers la surface latérale tend également vers 0 : Φtot = Φ1 + Φ2 + Φlat = B2n(A)δS −B1n(A)δS = 0 Donc ﬁnalement, en divisant par δS et sachant que les grandeurs sont vectorielles : − → B 2n(A) −− → B 1n(A) = − → 0 4. Considérons à nouveau un contour orienté "à cheval" sur la surface (Σ) de longueur dL selon la parallèle à la sur- face (Σ), et de longueur dℓselon la perpendiculaire à la sur- face, suﬃsamment petit pour que les grandeurs puissent être considérées comme uniformes autour du point A. (Σ) js σ n12 milieu 1 milieu 2 A 12 A A l’aide du théorème d’Ampère appliqué au contour orienté, pour lequel on fait tendre dℓ vers 0, on obtient : I − → B · − → dℓ= B2t(A)dL −B1t(A)dL = µ0Ienlacé = µ0jsdL où − → j s est orienté dans le sens positif avec la règle de la main droite par rapport au contour. En divisant par dL et sachant que les grandeurs sont vectorielles, on obtient : − → B 2t(A) −− → B 1t(A) = µ0 − → j s ∧− → n 12 5. Les relations précédentes peuvent s’écrire de façon compacte de la façon suivante : − → E 2(A) −− → E 1(A) = σ(A) ϵ0 − → n 12 La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue, et la composante normale est potentiellement discontinue. − → B 2(A) −− → B 1(A) = µ0 − → j s ∧− → n 12 La composante normale du champ magnétique est toujours continue, et la composante tangentielle est potentiellement discontinue. PSI - Année 2010/2011 3 Lycée Paul Eluard Physique Correction - TD no7 : Equations locales de l’électromagnétisme 3 Calculs de champs ⃗ E créés par des distributions de charges 4 Calculs de champs ⃗ B créés par des distributions de courant 5 Champ créé par une charge ponctuelle 1. Le champ électrique créé en M par une charge ponctuelle q ﬁxe en O vaut − → E = q 4πε0 − − → OM ||− − → OM||3 = q 4πε0 r2 ⃗ ur où r = ||− − → OM|| et ⃗ ur = − − → OM ||− − → OM|| . 2. Le champ ne possède qu’une composante suivant ⃗ ur (Eθ = Eφ = 0). Sa divergence est donc de la forme div(− → E ) = 1 r2 ∂ ∂r ( r2Er ) = 1 r2 ∂ ∂r ( q 4πε0 ) = ⇒div(− → E ) = 0 3. Considérons une sphère Σ de rayon r centrée sur la charge ponctuelle. Le ﬂux sortant du champ électrostatique à travers la sphère vaut Φ = ∫ ∫ ⃝ Σ − → E · − − → d2S avec − − → d2S = r2 sin θ dθ dφ ⃗ ur On a donc Φ = ∫π θ=0 ∫2π φ=0 q 4πε0 r2 r2 sin θ dθ dφ = q 4πε0 ∫π θ=0 sin θ dθ | {z } cos(0)−cos(π)=2 ∫2π φ=0 dφ | {z } =2π = q ε0 On retrouve le théorème de Gauss puisque la surface fermée Σ encercle une charge q. 4. Les résultats précédents semblent incompatibles puisque l’application du théorème de Green-Ostrogradsky conduit à Φ = ∫ ∫ ⃝ Σ − → E · − − → d2S | {z } =q/ε0 = ∫ ∫ ∫ V (Σ) div(− → E )d3V | {z } =0 Mais le théorème de Green-Ostrogradsky ne s’applique que si le champ de vecteur est déﬁni en tout point intérieur au volume considéré. Or le champ électrique n’est pas déﬁni en O et le théorème de Green-Ostrogradsky ne peut pas être appliqué. Le champ électrique possède un ﬂux non-nul mais une divergence nulle. PSI - Année 2010/2011 4 Lycée Paul Eluard Physique Correction uploads/Litterature/ correction-td7-equationslocaleselectromag.pdf