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Les initiateurs de l’algèbre : - Babyloniens et égyptiens - Chinois - Grecs - Indiens La naissance de l'algèbre dans le monde arabo-musulman : - al Khwarizmi et l’al jabr - Abu Kamil - Les algébristes arithméticiens - Les géomètres algébristes L’algèbre dans le monde de l’Occident : - En Italie - Vers le symbolisme - Evolution moderne Les initiateurs de l’algèbre Deux mille ans avant J.C., babyloniens et égyptiens savent résoudre de façon rhétorique des problèmes concrets du premier et second degré en utilisant implicitement des propriétés sur les opérations sans aucune notation symbolique. Les égyptiens possèdent toutefois quelques symboles comme ceux qui représentent l’addition (une paire de jambes marchant vers la gauche, le sens de l’écriture) et la soustraction (une paire de jambes marchant vers la droite). + et - Rechercher sur le site... MENU RESSOURCES SUIVRE Les calculateurs babyloniens désignent l’inconnue par "le côté" et la puissance deux est appelée "le carré". Extrait d’un papyrus égyptien du 2e millénaire avant J.C. Le problème revient aujourd’hui à résoudre l’équation : x + x/5 = 21 Il y a un peu plus de 2000 ans, les chinois connaissaient des méthodes pour résoudre les systèmes linéaires proches de notre méthode des combinaisons linéaires. Ils employaient également la méthode de fausse position. Extrait du manuscrit chinois « Neuf chapitres sur l’art du calcul », Ier siècle Le problème revient aujourd’hui à résoudre le système d’équations : 2x = 1 + y 3y = 1 + z 4z = 1+ x x, y et z étant les poids respectifs d’une gerbe de chaque récolte. Chez les grecs, les nombres sont intimement liés à des concepts géométriques, de ce fait, ils n’apporteront pas de techniques nouvelles de calculs. Ils s’attacheront à passer par des constructions à la règle et au compas pour représenter les solutions qui sont nécessairement des rationnels positifs. Extrait du Livre II Proposition 11 des Eléments d’Euclide. Dans le langage d’aujourd’hui : Soit [AB] un segment donné, il s’agit de déterminer le point H de [AB] tel que le carré construit sur [AH] ait la même aire que le rectangle de côtés [HB] et [AB]. Ce qui revient à résoudre l’équation : x2 = AB(AB - x), où x = AH. L’amorce du symbolisme en algèbre voit le jour dans « Les arithmétiques » avec Diophante d’Alexandrie (IIIe siècle) qui introduit un certain nombre d’abréviations. Les raisonnements restent cependant écrits en toute lettre. Sa notation est dite syncopée, ce qui signifie que les mots sont remplacés par des abréviations. Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie et par là, il s’oppose radicalement aux méthodes passées des géomètres grecs. En Inde Chez Aryabhata l'Ancien (476 ; 550), on trouve dans son « Aryabhatîya », écrit en sanscrit en 510, des problèmes énoncés de façon concrète qui correspondent à des équations linéaires ou à des systèmes d’équations du premier degré. Plus tard, dans le « Brahma Sphuta Siddhanta » (L’ouverture de l’Univers), datant de 628, Brahmagupta (598 ; 660) exprime des solutions d’équations quadratiques. Problème donné par Aryabhata l'Ancien (476 ; 550) Dans le langage d’aujourd’hui : Si a et b sont les sommes possédées, c et d le nombre d’objets possédés, alors : x = (b-a)/(c-d) est le prix de chaque objet. La naissance de l’algèbre dans le monde arabo-musulman Le développement de l’algèbre dans le monde arabo-musulman s’est effectué en deux temps. Au VIIe et VIIIe siècle, les mathématiciens héritent du savoir passé (grec, indien, …) et entre dans une longue période de traduction. Puis à partir du IXe siècle, de nouveaux travaux voient le jour. Al Khwarizmi et l'al jabr : Selon l’historien Ahmed Djebbar, l’acte de naissance officiel de l’algèbre en tant que discipline vient avec le savant perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850). Dans un premier ouvrage, il expose le système décimal et les règles du calcul indien. Avec le « Kitâb al-jabr wa al-muqâbala » (Le livre du rajout et de l'équilibre), rédigé entre 813 et 833 et dédié au calife al Mamum, al Khwarizmi pose les bases des méthodes algébriques de résolution des équations ainsi qu’une synthèse des règles héritées des grecs et des textes néo-persans. En grande partie, l’ouvrage traite de problèmes de la vie courante (partages d’héritage, droits de succession, échanges commerciaux, arpentages des terres…) Al Khwarizmi Extrait du livre du rajout et de l'équilibre d'al Khwarizmi Son algèbre reste rhétorique sans symbolisme aucun, même pour les nombres. Il appelle « dirham » (monnaie de l’époque) un nombre simple, « chay » (chose) l’inconnue et « mal » le carré de l’inconnue. Tous les coefficients sont positifs et tous les termes s’additionnent. Sa technique consiste à ramener toutes les équations à l’une des six équations canoniques dont il sait trouver la solution : 1) ax2 = bx 2) ax2 = c 3) bx = c 4) ax2 + bx = c 5) ax2 + c = bx 6) bx + c = ax2 Pour y arriver, il utilise des méthodes de résolutions : - al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3). Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi s’attache a s’en débarrasser au plus vite. Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. Le mot "al jabr" est réutilisé dans de nombreux manuels postérieurs et deviendra en Europe : l’algèbre. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9) Les termes semblables sont réduits. - al hatt (2x = 8 devient x = 4) Division de chaque terme par un même nombre. Al Khwarizmi peut être considéré comme le fondateur d’une véritable théorie de résolution des équations quadratiques. Il propose également quelques problèmes d’héritages menant à des systèmes d’équations mais qu’il ramène, pour les résoudre, à une équation linéaire. L'Algèbre d'Al Khwarizmi Abu Kamil : Shuja Abu Kamil (850 ; 930) prolonge les travaux d’al Khwarizmi sur les équations quadratiques dans « al Kitab al kamil fi l-jabr wa l-muqabala » (Livre complet en algèbre). Son second livre « Kita bat-tara’if l-hisab (Livre des choses rares en calcul) est entièrement consacré aux systèmes d’équations. Abu Kamil possède un degré d’abstraction supérieur à son prédécesseur. Plus tard, Thabit ibn Qurra (836 ; 901) sera le premier à distinguer clairement les méthodes algébriques et géométriques et prouvera qu’elles mènent toutes les deux à la même solution. Livre des choses rares d'Abu Kamil Extrait du Livre complet d'Abu Kamil Le problème revient aujourd’hui à résoudre l’équation : où x est le nombre de jours travaillés 6x = 4(30 - x) Il faudra ensuite distinguer deux courants dans le monde arabe : - les algébristes arithméticiens qui voient l’arithmétique au service de l’algèbre au moyen d’algorithmes numériques performants aidant à la résolution des équations. Abu Bakr al Karaji (953 ; 1029), au travers de son traité « al Kitab al fakhri fi l-jabr wa l- muqabala » (Le Fakhri en algèbre) en sera un acteur et fera progresser les méthodes sous l’influence des techniques algébriques des « Arithmétiques » de Diophante. Ses méthodes de calculs algébriques sur l'inconnue et ses différentes puissances donneront naissance à la théorie des polynômes. A cette occasion, al Karaji expose un triangle de détermination du binôme (a+b)n. Triangle d'al Karaji - les géomètres algébristes font avancer l’algèbre par la géométrie en étudiant en particulier les constructions géométriques permettant de représenter les racines des équations. Muhammad al Mahani (820 ; 880) s’intéresse au problème d’Archimède de Syracuse (-287 ; -212) exposé dans le traité « Sur la sphère et le cylindre » (Proposition 4 du Livre II). Ce problème consiste à étudier l’intersection d’une sphère par un plan. Il sera amené à résoudre par radicaux une équation du 3e degré du type x px2, ce que les algébristes arithméticiens n’avaient pas encore tenté. Toutefois ses recherches resteront vaines. D’autres mathématiciens du Xe siècle comme Abu Jafar al Khazin (900 ; 971) et al Hasan Ibn al Haytham (965 ; 1040), plus connu sous le nom d’Alhazen en Europe, reprennent des problèmes venus de l’Antiquité comme la duplication du cube, la trisection de l’angle ou certaines constructions de polygones qui mènent à des équations du 3e degré. Plus tard, le mathématicien et poète Omar Khayyam (1048 ; 1123) uploads/Litterature/histoire-de-l-x27-algebre.pdf