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TD1 : Groupes Exercice 1 a) Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l’élém

TD1 : Groupes Exercice 1 a) Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l’élément neutre. Si il y en a deux, disons e1 et e2 alors : e1 .e2 = e1 (car e2 est neutre) et e1 .e2 = e2 (car e1 est neutre). Donc e1 = e2. b) Prouvez que dans un groupe il y a unicité de l’inverse d’un élément. Soit a un élément quelconque d’un groupe. Soit e l’élément neutre de ce groupe. Soient b et b’ deux inverses de a. Alors ab = ab’ = e. Donc b(ab) = b(ab’). Donc (ba)b = (ba)b’ (associativité) mais ba = e. Donc b = b’. c) Prouvez que dans un groupe (G, *) on a : (ab)-1 = b-1 * a-1 On vient de voir qu’il y a unicité de l’inverse. Donc il suffit ici de montrer que b-1 a-1 est bien un inverse de ab, et ce sera le seul. Or ab (b-1 a-1) = a (b b-1 ) a-1 (associativité) = a a-1 = e. De même (b-1 a-1) ab = b-1 ( a-1 a ) b (associativité) = = b-1 b = e. Donc b-1 a-1 est bien l’inverse de ab, c’est-à-dire (ab) -1 = b-1 a-1 d) Prouvez que dans un groupe (x-1)-1 = x. Ceci signifie que x est l’inverse de x-1. Soit que x x-1= x-1x = e. Or puisque est l’inverse de x on a bien : x x-1= x-1x = e. Exercice 2 1) Montrez que si a, x et y sont 3 éléments d’un même groupe (G, *), alors a * x = a * y si et seulement si x = y. Si a * x = a * y alors en composant à gauche par l’inverse de a on obtient : a -1 * (a * x) = a-1 * (a * y) d’où par associativité : (a -1 * a) * x) = (a-1 * a) * y d’où e * x = e * y d’où x = y. 1 2) Montrez que dans un groupe si a et b sont deux éléments du groupe l’équation a * x = y admet toujours une solution unique en x. En effet a * x = y implique (en composant à gauche par a -1) que x = a-1 * y Et réciproquement cette valeur de x convient puisque a * ( a-1 * y) = (a * a-1 ) * y = e * y = y De même pour l’équation x * a = y. Même chose que ci-dessus, en composant cette fois ci à droite par a -1. 3) Montrez que dans la table de la loi d’un groupe fini chaque ligne et chaque colonne contient exactement une et une seule fois tous les éléments du groupe. Ceci résulte immédiatement des deux propriétés 2) ci-dessus. En effet la colonne de a contient tous les a * x, où x parcourt tous les éléments du groupe. Et de même la ligne de a contient tous les x * a, où x parcourt tous les éléments du groupe. Exercice 3 Soit G un groupe et H un sous groupe de G. a) Prouvez que l’élément neutre de H est le même que celui de G. Notons h l’élément neutre de H, et e l’élément neutre de G. On a h² = h. Donc en multipliant dans cette égalité des deux côtés par l’inverse de h dans G, on obtient : h = e. b) Prouvez que l’inverse d’un élément de H dans H est le même que son inverse dans G. Soit a un élément de H. Notons h son inverse dans H, et g son inverse dans G. On a donc ah = ag (car c’est dans les cas égal à e d’après la question précédente). Donc g(ah) = g(ag) donc (ga)h = (ga)g et comme ga = e, on obtient h = g. Exercice 4 Prouvez le théorème de Lagrange : dans un groupe fini G l’ordre d’un sous groupe H de G divise l’ordre de G. Aide : On définira la relation R par :  x, y  G, x R y  x. y -1  H. On montrera qu’il s’agit d’une relation d’équivalence, et que chaque classe d’équivalence possède |H| éléments. Le Théorème de Lagrange Théorème 1 (Lagrange). Soit (G, .) un groupe fini. Soit (H, .) un sous-groupe de (G, .). Alors ½H½ divise ½G½. Démonstration. 2 Soit R la relation suivante : x et y étant deux éléments de G, on dira que x R y (lire "x est en relation avec y") si, et seulement si : xy-1 Î H Montrons quelques propriétés de cette relation R. Propriété 1 : xG, x R x (1) En effet, xG, xx-1 = e et e, l'élément neutre de G, est aussi l'élément neutre de H (car si on note e' l'élément neutre de H, on a e'e' = e'. Donc, en notant e'-1 l'inverse de e' dans G, on a e'-1e'e' = e'-1e' soit e' = e). Propriété 2 : x, yG, xRy Þ yRx (2) En effet, si a et b sont deux éléments de G, on a (ab)-1 = b-1a-1 (car b-1a-1ab = b-1b = e et de même abb-1a-1 = aa-1 = e). Donc, x, yG si xy-1H, on a (xy-1)-1H (car H est un groupe), donc yx-1H, d'où yRx. Propriété 3 : x, y, zG, (xRy) et (yRz) Þ (xRz) (3) En effet, (xy-1H) et (yz-1H) Þ xy-1yz-1H Þ xz-1H Þ x R z Une relation R qui vérifie les trois propriétés (1), (2) et (3) est appelée une "relation d'équivalence". x étant un élément du groupe G, notons classe(x) = {yG tels que y R x} Classe(x) est appelée la "classe d'équivalence" de x. Ce qui est important avec ces "classes d'équivalence", c'est qu'elles forment une "partition" de l'ensemble G, c'est-à-dire que tout élément de G appartient à une, et une seule, de ces classes d'équivalence (ceci vient du fait que R est une relation d'équivalence). Ceci est illustré sur la figure suivante : a b c d e f G . . . . . . 3 Figure 1 : les classes d'équivalence forment une "partition" de G. Nous allons maintenant montrer que, pour notre relation R, chaque classe d'équivalence contient exactement ½H½ élément. En effet, soit x un élément fixé de G. yclasse(x) Û y R x Û yx-1H Û $hH tel que yx-1 = h Û $hH tel que y = hx On voit donc déjà qu'il y a au plus ½H½ éléments dans classe (x). En effet, on doit choisir des éléments h de H (on a ½H½ choix possibles pour h) et, en formant les produits hx, on obtient tous les éléments de classe(x). De plus, ces produits hx sont deux à deux distincts. En effet, si h ¹ h', on a hx ¹ h'x (car si hx = h'x, on a hxx-1 = h'xx-1 soit h = h'). Donc, on a bien exactement ½H½ éléments dans chaque classe d'équivalence. Notons k le nombre de classes d'équivalence de la relation R. (On ne connaît pas exactement la valeur de k, mais on sait, par sa définition, que c'est un entier). Puisque chaque élément de G est dans une, et une seule, classe et puisque chaque classe possède exactement ½H½ éléments, on a : ½G½ = k.½H½ et donc ½H½ divise ½G½, comme annoncé. Exercice 5 Soient (F, .) et (G,*) deux groupes. On définit la loi T sur F x G par :  (x, y)  F x G,  (x’, y’)  F x G, (x, y) T (x’, y’) = (x.x’, y* y’). (4) Montrez que (F x G, T) est un groupe. Remarque : ce groupe est appelé le groupe produit de (F,.) et (G,*), et est noté (F,.) X (G,*). On vérifiera ici chacun des axiomes de groupe. 1) T est une loi de composition interne sur F x G. En effet dans la formule (4) ci-dessus, x.x’ est un élément précis de F, et de même y* y’est un élément précis de G. 2) T admet un élément neutre. 4 Si ef est l’élément neutre de F et eg celui de G, il est facile de voire que (ef, eg) est un élément neutre sur (F x G, T). 3) T est associative. Soient (x, y), (x’, y’) et (x’’, y’’) trois éléments quelconques de F x G. (x, y) T ( (x’, y’) T (x’’, y’’) ) = (x, y) T (x’.x’’, y’* y’’) = ( x.(x’x’’), y’* (y’’* y’’’) ) = ( (x.x’) . x’’), (y’* y’’) * y’’’ ) (du fait de l’associativité de . et *) = ( (x, y) T ( (x’, y’) ) T (x’’, y’’) Donc T est bien associative. 4) Tout élément (f, g) de F x G admet un inverse pour T. Si f’ est l’inverse de f dans F et g’ l’inverse de g dans G, il est facile de uploads/Litterature/ corrige-tdinfo-1 1 .pdf