Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 1 Auteur : Dr. S. BENAMM

Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 1 Auteur : Dr. S. BENAMMAR TABLE DES MATIERES CHAPITRE I 3 LOIS DE PROBABILITES ET CARACTERISTIQUES DE LA FIABILITE 3 1 Rappel de probabilités 3 1.1 Variable aléatoire 3 1.2 Densité de probabilité et fonction de distribution cumulative 3 1.3 Fonction de densité conjointe 4 1.4 Mesures centrales 4 1.5 Mesures de dispersion 5 1.6 Mesures de corrélation 6 1.7 Propriétés des mesures centrales et de dispersion 7 1.8 Skewness 8 1.9 Kurtosis 8 2 Caractéristiques de la fiabilité 9 2.1 Fonction de fiabilité ou fonction de survie 9 2.2 Taux de défaillance instantané 10 2.3 Temps moyen avant la première défaillance 11 2.4 Temps moyen de réparation 11 2.5 Temps moyen de bon fonctionnement 11 2.6 Temps moyen d'arrêt 12 2.7 Temps moyen entre deux défaillances 12 2.8 Disponibilité 12 2.9 Maintenabilité 13 2.10 Disponibilité du système 13 CHAPITRE II 14 ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI EXPONENTIELLE 14 1 Distribution exponentielle à 2 paramètres 14 2 Distribution exponentielle à 1 paramètre 14 3 Fonctions de la loi exponentielle 15 3.1 Moyenne, MUP ou MTTF 15 3.2 Médiane 15 3.3 Mode 16 3.4 Ecart-type 16 4 Fonction de fiabilité 17 5 Fonction de fiabilité conditionnelle 18 6 Durée de vie fiable 18 7 Fonction de taux de défaillance 18 8 Estimation des paramètres de la loi exponentielle 18 8.1 Méthode graphique 18 8.2 Méthode de régression 20 Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 2 Auteur : Dr. S. BENAMMAR Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 3 Auteur : Dr. S. BENAMMAR CHAPITRE I LOIS DE PROBABILITES ET CARACTERISTIQUES DE LA FIABILITE 1 Rappel de probabilités 1.1 Variable aléatoire Une variable aléatoire X prend différentes valeurs x dans l’intervalle ] -∞, +∞ [. Une variable aléatoire est indiquée par un grand X, et sa valeur particulière est représentée par un petit x. Les variables aléatoires sont de deux types: discrètes et continu. Si la variable aléatoire prend seulement des valeurs discrètes, x1, x2, x3, ..., xn, on l'appelle variable aléatoire discrète. D’autre part, si la variable aléatoire prend une valeur réelle dans un intervalle spécifié, on l'appelle variable aléatoire continue [1]. 1.2 Densité de probabilité et fonction de distribution cumulative La fonction mathématique qui décrit la distribution d'une variable aléatoire sur l'espace d’échantillon de la variable aléatoire continue, X, est appelée fonction de densité de probabilité (PDF) et est désignée par fX (x). La PDF est uniquement définie pour les variables aléatoires continues. Une autre façon de décrire la distribution de probabilité pour les variables aléatoires discrètes et continues est la fonction de distribution cumulative (CDF), FX (x). La CDF est définie pour toutes les valeurs des variables aléatoires X dans l’intervalle ]-∞, +∞[ et est égale à la probabilité que X est inférieur ou égal à une valeur réalisée x. Pour une variable aléatoire continue, FX (x) est calculé en intégrant la PDF pour toutes les valeurs de X inférieures ou égales à x:   =      De plus, si FX (x) est continu, alors la probabilité que X ait une valeur entre a et b peut être calculée comme :   −  =       Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 4 Auteur : Dr. S. BENAMMAR 1.3 Fonction de densité conjointe La probabilité conjointe exprime la probabilité que deux ou plusieurs événements aléatoires se produisent simultanément. En général, s'il y a n variables aléatoires, le résultat est un vecteur aléatoire à n dimensions. Par exemple, la probabilité conjointe à deux dimensions est calculée comme [1]: [ <  < ,  <  < ] =     ,     Où f XY (x, y) est la PDF conjointe des variables aléatoires X et Y.   ,  ≥0,     ,       = 1$ La densité de probabilité de X pour toutes les valeurs possibles de y est la densité marginale de x, elle est déterminée par:   =    ,    La PDF de X pour un y spécifié représente la probabilité conditionnelle de X donnée par:  | |  =   ,     ,  > 0 Si X et Y sont indépendants, alors:  | |  =   et  | | =    La PDF conditionnelle devient la PDF marginale et la PDF conjointe devient le produit des marginaux:   ,  =      En général, la PDF commune est égale au produit des marginaux lorsque tous les variables sont mutuellement indépendants:   =  '(  )* …  ,-'. (  ,. = /  01 . 12( 1.4 Mesures centrales La moyenne de la population, également appelée espérance mathématique, est utilisée pour décrire la tendance centrale d'une variable aléatoire. Ceci est une moyenne pondérée de toutes les valeurs qu'une variable aléatoire peut prendre. Si f (x) est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X, la moyenne est donnée par : Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 5 Auteur : Dr. S. BENAMMAR 3 = 4 =      ∞ ∞ Ainsi, 3 est la distance de l'origine vers le centre de la PDF. On l'appelle le premier moment puisque c'est le premier moment de la zone de la PDF. En générale, si g (x) est une fonction arbitraire de x, l’espérance mathématique de g (x) est définie comme : 4[5] =  5      L'espérance mathématique, E [.], Possède les propriétés utiles suivantes: si X et Y sont indépendants, E [X Y] = E [X] E [Y] Si c est un constant E [c] = c E [c X] = c E [X] Si Z= X1 + X2 + ..... + Xn, alors E(Z) = E(X1) + E(X2)..... + E(Xn) Les autres mesures centrales utiles sont la médiane et le mode des données: la médiane est la valeur de X pour laquelle la fonction de distribution cumulative a une valeur de 0.5, et le mode est la valeur de X correspondant à la valeur de crête de la fonction de densité de probabilité. 1.5 Mesures de dispersion L’espérance mathématique ou valeur moyenne est une mesure de la tendance centrale, qui indique l'emplacement de la distribution sur l'axe des coordonnées représentant la Variable aléatoire. La variance, V (X), un deuxième moment central de X, est une mesure de propagation dans les données sur la moyenne: 6 = 4[ −3*] = 4[ −4[]*] = 4[* −2  4[] + 4[]*] = 4[*] −2 4[] 4[] + 4[]* = 4[*] −4[]* Alors : 6 = 4[*] −3 * Tel que : µX = E[X]. Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 6 Auteur : Dr. S. BENAMMAR 1- Pour une variable aléatoire continue on a : 69 =  −3*    =  *    −2 3      +  3 *    69 =  *    −3 * 2- Pour une variable aléatoire discrète, on peut écrire : 69 = : ;11 −3* . 12( 69 = : ;1 1 * . 12( $ −3 * Tel que : 3 = : ;1 1 . 12( $ ;1 = <1 < ni est effectif et n est la somme des effectifs. Une mesure de la variabilité de la variable aléatoire est généralement donnée par une quantité connue sous le nom d'écart-type. L'écart-type est une racine carrée de la variance: = = >69 L'écart type est souvent préféré à la variance comme mesure de dispersion parce que les unités sont compatibles avec la variable X et sa valeur moyenne µX. La non dimensionnalisation de l'écart-type se traduira par le coefficient de Variation (COV), δx, qui indique la quantité relative d'incertitude ou caractère aléatoire: ? = = 3 1.6 Mesures de corrélation Si deux variables aléatoires (X et Y) sont corrélées, la probabilité de X peut être affecté par la valeur prise par Y. Dans ce cas, la covariance, σXY, peut être utilisée comme une mesure pour décrire une association linéaire entre deux variables aléatoires: = = @AB,  = 4[ −3 −3 ] Polycopié de cours : Fiabilité des Systèmes Mécaniques 7 Auteur : Dr. S. BENAMMAR = =   −3 −3    ,       Pour une variable aléatoire discrète, la covariance est donnée par : = = ∑ 1 −̅ 1 − E . 12( < −1 Le coefficient de corrélation est une mesure non-dimensionnelle de la corrélation F = = = = Si x et y sont statistiquement indépendants, les variables ne sont pas corrélées la covariance est 0 (Figures I-1a). Par conséquent, les coefficients de corrélation de ±1 indiquent une corrélation parfaite (figure I-1b). uploads/Litterature/ cours-fiabilite.pdf

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