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1 Pole polytechnique CSI Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant F

1 Pole polytechnique CSI Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 COURS DE STAT. ET PROBA. 1 Pole polytechnique CSI PARTIE I : CALCULS DE PROBABILITES L’objet de la théorie des probabilités est l’étude des phénomènes aléatoires et des lois qui les régissent. Elle s’attache à exprimer le nombre de réalisation (probabilité) du ou des résultat(s) d’une expérience (épreuve) reproduite maintes fois. I- RAPPEL DE DENOMBREMENT (ANALYSE COMBINATOIRE) L’analyse combinatoire permet de recenser les dispositions qu’il est possible de former à partir d’un ensemble donné d’éléments. La distinction entre ces dispositions se fonde sur la notion d’ordre. Deux ou plusieurs dispositions comportant les mêmes éléments seront différents si les places affectées à ces éléments ne sont pas les mêmes. Ainsi (x,y) et (y,x) sont différentes s’il s’agit de dispositions ordonnées. Dans le cas de dispositions non ordonnées, (x,y) et (y,x) sont identiques car elle comporte les mêmes éléments. quatre formes de dispositions doivent être distinguées : - Les permutations ; - Les arrangements ; - Les combinaisons ; - P-uplet ou p-liste. 1/ Si l’énoncé contient le mot successif, il faut tenir compte de tous les ordres dans lesquels on peut obtenir un événement donné. Dans certains cas, il est possible de multiplier par le nombre d’ordres possibles le résultat trouvé pour un ordre déterminé. 2/ Si l’énoncé contient les mots successifs et avec remise, cela signifie que l’ordre dans lequel on considère les éléments a de l’importance et qu’un élément peut éventuellement être répété. Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 1 Pole polytechnique CSI Le modèle mathématique mis en évidence est la p-liste ou la notion de p-uplets. Le nombre de p-uplets d’un ensemble à n éléments est np. 3/ Si l’énoncé contient les mots successifs et sans remise, cela signifie que l’ordre dans lequel on considère les éléments a de l’importance mais que tous les éléments considérés sont distincts (ou qu’il n’y a pas de répétition d’éléments). Le modèle mathématique mis en évidence est l’arrangement. On appelle arrangement de p élements une disposition ordonnée de p élements choisis parmi n éléments, avec p ≤ n. Le nombre d’arrangement de n objets pris p à p est 4/ Si l’énoncé contient les mots successifs et sans remise, cela signifie que l’ordre dans lequel on considère les éléments a de l’importance mais que tous les éléments considérés sont distincts (ou qu’il n’y a pas de répétition d’éléments). Le modèle mathématique mis en évidence est la permutation. On appelle permutation de n élements distincts toute suite ordonnée de ces n élements en plaçant les n éléments, les uns à la suite des autres avec p = n. NB : La permutation de n éléments n’est donc qu’un cas particulier des arrangements, celui de n éléments pris parmi n éléments. 5/ Si l’énoncé contient les mots simultanément, cela signifie que l’ordre dans lequel on considère les éléments n’a pas d’importance. Le modèle mathématique mis en évidence est la combinaison. Une combinaison est une disposition non ordonnée de p éléments choisis parmi n éléments. Le nombre de combinaison de p éléments choisis parmi n est le réel Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 1 Pole polytechnique CSI Le schéma ci-dessous récapitule ces différentes situations : II- TERMINOLOGIE 1- Epreuve aléatoire Une épreuve aléatoire est une expérience dont le résultat est imprévisible, et dû au hasard (lancé d’une pièce, jet d’un dé, etc.) 2- Ensemble fondamental ou univers L’ensemble fondamental ou univers, noté Ω, d’une épreuve aléatoire est l’ensemble de tous les résultats possibles de l’épreuve. 3- Une éventualité Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 L’ordre a-t-il de l’importance ? La répétition est-elle permise ? Permutation Arrangement Combinaison P=n p-liste OUI OUI OUI NO N NO N NO N 1 Pole polytechnique CSI Une éventualité est un résultat possible d’une expérience aléatoire. 4- Un évènement On appelle évènement E un ensemble d’éventualités c’est-à-dire une partie ou un sous ensemble de l’univers Ω. 5- Evènements équiprobables Deux évènements élémentaires A et B sont dits équiprobables lorsque, avant l’épreuve, ils ont les mêmes chances de réalisation. 6- Evènements somme ou union de deux évènements A et B L’évènement somme ou union de deux évènements A et B est un évènement qui se réalise si A se réalise ou B se réalise ou les deux se réalisent. On le note (A b), (A ou B), (A+B) 7- Evènements produit ou intersection de deux évènements A et B C’est un évènement qui se réalise si A et B se réalisent en même temps. On le note (A B), (A et B), (A x B). En termes d’ensemble, on parle de disjonction. III- RELATIONS LOGIQUES ENTRE EVENEMENTS 1- Evènements complémentaires Soit E une partie de Ω. Le complémentaire de E, également partie de Ω est noté , est l’ensemble des résultats qui conduit à la réalisation de l’évènement contraire « non E ». Il est constitué de tous les éléments de Ω qui n’appartiennent pas à E. , et 2- Evènements simultanés et incompatibles L’évènement C, réalisé si les deux évènements A et B sont réalisés simultanément, est représenté par l’intersection de A et B. Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 1 Pole polytechnique CSI 3- Réunion L’évènement D réalisé si A et B est réalisé, est représenté par la réunion de A et B : 4- Evènement impossible ou incertain Un évènement I est dit impossible si l’ensemble associé à cet évènement est vide. 5- Implication des évènements L’évènement A implique l’évènement B signifie que la réalisation de A entraîne celle de B. Cette relation est traduite par l’inclusion 6- Univers probabilisé. Soit Ω un univers et P(Ω) l’ensemble des évènements de Ω On dit que cet espace est probabilisé si l’on définit une application « p » de l’ensemble P(Ω) de l’intervalle définissant pour tous évènement A une probabilité P(A) et telle que des évènements incompatibles A et B, M et P( )=P(A)+P(B) et P(Ω)=1 IV- DEFINITIONS ET PROPRIETES 1- Définitions Si dans une population statistique, on observe qu’une sous-population représente une fréquence fi ou une proportion pi en pourcentage (fi=pi/100), alors cette fréquence fi peut être assimilée à la probabilité de tirer ou d’obtenir un élément de cette sous-population. Si on designe par Ei un élément de cette population ; P(Ei) = fi. 2- Propriétés - - Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 1 Pole polytechnique CSI - - - - Si alors - Si A et B sont incompatibles ( ) alors V- PROBABILITES COMPOSEES Le théorème des probabilités composées permet de déterminer la probabilité de réalisation simultanée de deux évènements. Ce théorème s’obtient à partir de la définition de la probabilité conditionnelle d’un événement. 1- Probabilités conditionnelles Soit Ω un ensemble d’événements sur lequel est définie une probabilité de A sachant B ou encore de probabilité de A liée par B, a pour expression : NB : est souvent noté P(A/B) 2- Théorème des probabilités composées Soient deux événements A et B tels que et . La probabilité de réalisation simultanée de A et B est égale à : Si A et B sont indépendants, le théorème des probabilités composées devient : NB : Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur celle de l’autre. Dans ce cas et Arthur Ouattara, Economiste Statisticien, Consultant Formateur ouattaraarthur@yahoo.fr / (+225) 09 33 13 68 / 03 05 07 30 1 Pole polytechnique CSI PARTIE II : VARIABLES ALEATOIRES La variable aléatoire (VA) est une fonction définie sur l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire telle qu’il soit possible de déterminer la probabilité pour qu’elle prenne une valeur dans un intervalle donné. En mathématique et plus précisément en théorie des probabilités, une variable aléatoire est une fonction mesurable définie sur un espace de probabilités. La mesure image correspondante est appelé loi de variable aléatoire. Ce type de fonction permet de modéliser un phénomène aléatoire, comme par exemple le résultat d’un jet de dés. Il convient de distinguer deux types de variables aléatoires : - Les variables aléatoires discrètes (ou discontinue) dont l’ensemble des valeurs possible est fini ou dénombrables. Ces valeurs correspondent à des nombres entiers. - Les variables aléatoires continues dont l’ensemble des valeurs est infini ou non dénombrable. L’ensemble de définition correspond a un ensemble réel. I- Variables aléatoires discrètes a- Définitions Soit Ω un ensemble d’événements liés à une expérience aléatoire , on appelle variable aléatoire, toute application notée, X de Ω vers R : Soit pi la probabilité associée à chaque valeur de xi prise par la variable aléatoire X, . La probabilité que la variable aléatoire X soit égale à xi est uploads/Litterature/ cours-probabilite.pdf