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UNIVERSITE D’ABOMEY- CALAVI ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE APPLIQUEE ET DE MANAGEME

UNIVERSITE D’ABOMEY- CALAVI ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE APPLIQUEE ET DE MANAGEMENT ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ANNEE ACADEMIQUE : 2019-2020 EPREUVE D’ALGEBRE PLAN I Durée 2heures Professeur : ZINSOU Célestin Macaire Exercice n°1 On considère les fonctions f et g suivantes : f(x) = a0x 2+a1 x+a2, g(x) = b0x 2+b1 x+b2. 1) Calculer le résultant R(f,g) de f et g en développant le déterminant par rapport aux éléments de la première ligne et de la troisième ligne. 2) En utilisant les résultats de la question précédente, dire si les fonctions f et g suivantes ont un zéro en commun. Si oui préciser le zéro. a- f(x) = x2- 6x+2, g(x)=x2+x+5, b- f(x) = x2- 4x-5, g(x)=x2- 7x+1. Exercice n°2, On considère le polynôme à quatre indéterminées f(x1, x2, x3, x4) =5 x1x3x4 2+3 x1 2x2 3 x3+2 x2−4 −x1 2x2 3x 4 2+ x1 4+x3 3x4. a) Ordonner f dans l’ordre lexicographique. b) Quel est le plus haut terme de f ? c) Le degré de f en l’indéterminée x1 d) Le degré de f Exercice n°3 1) En utilisant les formules de Newton, exprimer le polynôme symétrique S(x1 3) à l’aide des polynômes symétriques élémentaires σ1,σ2,σ3(3≤n) 2) Trouver la somme des cubes des zéros du polynôme f(x) = x 4+x 3+2x 2+x+1. Exercice n°4 1) Réduire la Matrice suivante sous forme échelonnée réduite : 3 3 -2 0 -1 -1 -1 1 3 1 2 2 -1 2 2 0 0 1 8 4 2) Résoudre le système d’équations linéaires suivant : 3 x1+3 x2−2 x3=−1 −x1−x2+ x3+3 x4=1 2 x1+2 x2−x3+2x4=2 x3+8 x4=4 Exercice n°5 Soit f un endomorphisme de ℝ3, A = −5 3 −3 −15 9 −7 −9 5 −3 la matrice canoniquement associée à f dans la base B0 = (⃗ i , ⃗ j, ⃗ k ¿ et soient ⃗ u1,⃗ u2,et ⃗ u3tels que ⃗ u1=⃗ i+⃗ j−⃗ k ,⃗ u2=⃗ j+⃗ k et ⃗ u3=⃗ i+2⃗ j+⃗ kune famille de vecteurs de ℝ3. 1) Montrer que la famille B = (⃗ u1,⃗ u2, ⃗ u3¿ est une basedeR 3. 2) Calculer la matrice D de f dans la base B. 3) Calculer Dn UNIVERSITE D’ABOMEY- CALAVI ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE APPLIQUEE ET DE MANAGEMENT ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ANNEE ACADEMIQUE : 2019-2020 4) Calculer le rang de A et en déduire Imf et Kerf. 5) f est-elle injective ? surjective ? uploads/Litterature/ d-x27-algebre-plan1-devoir.pdf