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Rappels utiles au cours de statistique mathématique O. Wintenberger 2 Les résul

Rappels utiles au cours de statistique mathématique O. Wintenberger 2 Les résultats d’algèbre linéaire et de probabilités présentés ici sont utiles à la compréhension des méthodes développées dans le cours de statistique mathéma- tique. Dans ce fascicule sont rappelé des résultats connus et un résultat probabiliste nouveau : le théorème de Cochran. Ce théorème sera détaillé durant le cours ma- gistral de statistique mathématique et non dans le polycopié de ce cours. Je remercie Jean Marc Bardet et Vincent Rivoirard pour avoir mis à ma dis- position leurs notes de cours. Chapitre 1 Rappels d’algèbre linéaire Ce premier chapitre a pour objet de rappeler les principaux éléments d’algèbre linéaire nécessaires pour l’étude des méthodes développées dans le cours de statis- tique mathématique. 1.1 Rappels généraux sur les matrices On ne considère que des matrices réelles. Pour toute matrice A, on note AT la matrice transposée de A. On note I la matrice identité. Proposition 1 Si A et B sont deux matrices telles que le nombre de colonnes de B correspond au nombre de lignes de A, on a : (AB)T = BTAT. Déﬁnition 1 On dit qu’une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice B telle que AB = BA = I. Dans ce cas, on note B = A−1. Proposition 2 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(A) ̸= 0. Dans ce cas, on a : A−1 = 1 det(A) ˜ AT, où ˜ A est la comatrice de A. Par ailleurs, si A et B sont deux matrices inversibles de même taille, (AB)−1 = B−1A−1. Déﬁnition 2 Soit A une matrice carrée. λ est une valeur propre de A si et seule- ment si det(A −λI) = 0. Un vecteur propre associé à la valeur propre λ est un vecteur x non nul satisfaisant Ax = λx. 3 4 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Déﬁnition 3 Soit A une matrice. Le rang de A est la plus petite des dimensions des deux sous-espaces engendrés par les lignes et par les colonnes de A. Proposition 3 Soit A une matrice possédant n lignes et p colonnes. On a : 1. 0 ≤rang(A) ≤min(n; p) 2. rang(A) = rang(AT) 3. rang(A) + dim(Ker(A)) = p (formule du rang) 4. rang(AAT) = rang(ATA) = rang(A) 5. pour p ≤n, si rang(A) = p ( ⇐ ⇒A injective), alors ATA est inversible 6. pour B matrice de p lignes et q colonnes, rang(AB) ≤min(rang(A); rang(B)) Déﬁnition 4 Soit A une matrice carrée. On note n le nombre de ses lignes (ou de ses colonnes). La trace de A est déﬁnie par : Tr(A) = n X i=1 Aii. Proposition 4 Soient A et B deux matrices carrées de taille n × n. On a : 1. Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) 2. Tr(AB) = Tr(BA) 3. Tr(AAT) = Tr(ATA) = Pn i=1 Pn j=1 a2 ij 4. det(AB) = det(A) det(B) 1.2 Matrices symétriques réelles Déﬁnition 5 Une matrice carrée A est dite symétrique si AT = A. On rappelle également que A est orthogonale si AT = A−1. Théorème 1 Les valeurs propres d’une matrice symétrique sont toutes réelles. De plus elle est diagonalisable dans une base orthonormale (BON) de vecteurs propres : il existe U matrice orthogonale (formée par les vecteurs propres de A) telle que U TAU = D, où D est une matrice diagonale, la diagonale étant formée des valeurs propres de A. En particulier, le rang d’une matrice symétrique correspond au nombre de valeurs propres non-nulles. 1.3. MATRICES DE PROJECTIONS ORTHOGONALES 5 Déﬁnition 6 Une matrice carrée A est dite semi-déﬁnie positive si et seulement pour tout vecteur x, xTAx ≥0. Elle est dite déﬁnie positive si et seulement si pour tout vecteur x non nul, xTAx > 0. Proposition 5 Les valeurs propres d’une matrice semi-déﬁnie positive sont toutes positives ou nulles, celle d’une matrice déﬁnie positive sont toutes strictement po- sitives. Théorème 2 Soit A une matrice symétrique semi-déﬁnie positive. Alors il existe une matrice Γ symétrique telle que A = Γ2 = ΓTΓ. Preuve : Il suﬃt d’écrire A = U TDU et de poser Γ = U T√ DU où si D =          1 ... r 0 ... 0          , √ D =          √ 1 ... √ r 0 ... 0          . 1.3 Matrices de projections orthogonales Déﬁnition 7 Une matrice P est une matrice de projection orthogonale si elle vériﬁe P 2 = P et P T = P. On rappelle que P est la projection sur Im(P) (paral- lèlement à Ker(P)). On munit Rp de la structure d’un espace de Hilbert avec le produit scalaire < X, Y >= XTY qui induit la norme ∥X∥= √ XTX. On vériﬁe qu’une matrice de projection orthogonale caractérise bien une projection orthogonale : 6 CHAPITRE 1. RAPPELS D’ALGÈBRE LINÉAIRE Proposition 6 Une matrice de projection orthogonale P se caractérise par la pro- priété : (Pu)T(y −Py) = 0, pour tout u et tout y. De plus, I −P est la matrice de projection sur Ker(P). Proposition 7 L’ensemble des valeurs propres de P est contenu dans {0, 1}. En particulier P est symétrique positive donc diagonalisable dans une BON U TPU = D avec D diagonale contenant que des 1 ou des 0. Le nombre de 1 correspond au rang de P. Proposition 8 Pour toute projection orthogonale P de rang p il existe une BON tel que P(X) = (x1, . . . , xp, 0, . . . , 0) pour tout X = (x1, . . . , xp) exprimé dans cette BON. Chapitre 2 Rappels de probabilités Ce chapitre a pour objet de rappeler des notions de probabilités utiles pour le cours de statistique mathématique. 2.1 Rappels sur la théorie de la mesure 2.1.1 Mesures Une mesure est une fonction positive de l’ensemble (tribu) des événements A d’un espace mesurable (Ω, A). • Tribus Dans toute la suite nous adoptons les notations standards : – Ωest un ensemble (ﬁni ou inﬁni). – P(Ω) est l’ensemble de tous les sous-ensembles (parties) de Ω. Rappel 1 (Dénombrabilité) Soit E un ensemble. E est dit dénombrable s’il existe une bijection entre E et N ou un sous-ensemble de N. Par exemple, un ensemble ﬁni, Z, D, Z × Z, Q sont dénombrables. En revanche, R n’est pas dé- nombrable. Déﬁnition 8 Soit une famille F de parties de Ω(donc F ⊂P(Ω)). On dit que F est une algèbre si : – Ω∈F ; – lorsque A ∈F alors le complémentaire Ac = A = (Ω\ A) appartient à F ; – pour tout n ∈NT, lorsque (A1, · · · , An) ∈Fn alors la réunion A1∪· · ·∪An ∈ F. 7 8 CHAPITRE 2. RAPPELS DE PROBABILITÉS Déﬁnition 9 Soit une famille A de parties de Ω(donc A ⊂P(Ω)). On dit que A est une tribu (ou σ-algèbre) sur Ωsi : – Ω∈A ; – lorsque A ∈A alors Ac ∈A ; – pour I ⊂N, lorsque (Ai)i∈I ∈AI alors S i∈I Ai ∈A. Tout sous ensemble A de Ωélément de la tribu A est appelé un événement. Propriété 1 Avec les notations précédentes : 1. ∅∈A ; 2. si A et B sont dans la tribu A, alors A ∩B est dans A ; 3. si A1 et A2 sont deux tribus sur Ω, alors A1 ∩A2 est une tribu sur Ω. Plus généralement, pour I ⊂N, si (Ai)i∈I ensemble de tribus sur Ω, alors T i∈I Ai est une tribu sur Ω; 4. si A1 et A2 sont deux tribus sur Ω, alors A1 ∪A2 n’est pas forcément une tribu sur Ω. Déﬁnition 10 Si E est une famille de parties de Ω(donc E ⊂P(Ω)), alors on appelle tribu engendrée par E, notée σ(E), la tribu engendrée par l’intersection de toutes les tribus contenant E (on peut faire la même chose avec des algèbres). La tribu engendrée est la “plus petite” tribu (au sens de l’inclusion) contenant la famille E. Rappel 2 (Topologie) – Un ensemble ouvert U dans un espace métrique X (muni d’une distance d) est tel que pour tout x ∈U, il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂U ou B(x, r) = {y ∈X; d(x, y) < r}. – On dit qu’un ensemble dans un espace métrique X est fermé si son complé- mentaire dans X est ouvert. Une tribu naturelle est celle engendrée par les ensembles ouverts (et donc fermés) : Déﬁnition 11 Soit Ωun espace métrique. On appelle tribu borélienne sur Ω, no- tée, B(Ω), la tribu engendrée par les ouverts de Ω. Un ensemble de B(Ω) est appelé borélien. • Espace mesurable Lorsque Ωest un ensemble et A une tribu sur Ωon dit que (Ω, A) est un espace mesurable. Quand on s’intéressera aux probabilités, on uploads/Litterature/ rappels-2012.pdf