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1 Daniel ALIBERT Séries numériques. Séries de fonctions. Séries entières. Série

1 Daniel ALIBERT Séries numériques. Séries de fonctions. Séries entières. Séries de Fourier. Objectifs : Savoir déterminer la convergence d'une série numérique. Calculer une valeur approchée ou déterminer l'expression exacte de la somme d'une série. Connaître les notions de convergence ponctuelle, convergence uniforme, convergence normale, d'une série de fonctions. Etudier la convergence d'une série entière ou d'une série de Fourier, et les propriétés de sa somme. Utiliser les séries entières ou de Fourier pour résoudre divers problèmes : calcul d'intégrale, sommation d'expressions, résolution d'équations différentielles, développement d'une fonction. Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties. La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie 3 précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, () lorsqu'une méthode plus générale est décrite, () renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires) Table des matières 1 A Savoir ........................................................................... 9 1-1 Séries numériques ........................................... 9 1-2 Suites et séries de fonctions .......................... 15 1-3 Séries entières................................................ 19 1-4 Séries de Fourier ........................................... 23 2 Pour Voir ....................................................................... 33 2-1 Séries numériques ......................................... 33 2-2 Suites et séries de fonctions .......................... 63 2-3 Séries entières................................................ 73 2-4 Séries de Fourier ........................................... 79 3 Pour Comprendre et Utiliser ......................................... 85 3-1 Énoncés des exercices ................................... 85 3-2 Corrigés des exercices ................................... 97 3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 145 4 Pour Chercher .............................................................. 151 4-1 Indications pour les exercices ..................... 151 4-2 Méthodes ..................................................... 155 4-3 Lexique ........................................................ 157 A savoir 5 1 A Savoir Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir. 1-1 Séries numériques Définition Soit (un) une suite réelle ou complexe. Pour chaque n, soit : Sn = u0 + u1 + … + un. On dit que la série de terme général un, ou la série un ∑ , converge si la suite (Sn) converge. Dans ce cas, la limite S est appelée la somme de la série de terme général un. On écrit : S = un n=0 +∞ ∑ . Etudier une série, c'est donc étudier la convergence d'une suite particulière, (Sn), à partir d'hypothèses portant sur (un). La suite, et la série, peuvent n'être définies que pour n ≥ n0. On ne change pas la convergence d'une série en modifiant un nombre fini de termes. Par contre, en général, on modifie la valeur de sa somme si elle existe. Si la série converge, alors (un) tend vers 0. 6 A savoir L'ensemble des suites termes généraux de séries convergentes est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites. L'application qui à une telle suite associe la somme de la série est une application linéaire. Dans le cas d'une série dont le terme général un est complexe, on voit qu'elle converge si et seulement si la série de terme général Re(un) et la série de terme général Im(un) convergent toutes deux. On étudie donc dans la suite seulement les séries réelles. Définition Soit (un) une suite réelle. On dit que la série un ∑ est absolument convergente si la série un ∑ est convergente. Théorème Toute série réelle absolument convergente est convergente. La réciproque n'est pas vraie. Les séries convergentes mais non absolument convergentes sont appelées semi-convergentes. Le théorème justifie l'importance particulière accordée aux séries réelles à termes positifs. Une série de terme général un positif est convergente si et seulement si la suite : Sn = u0 + … + un est majorée. Dans ce cas, la somme de la série est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs de Sn. Prposition Soient (un) et (vn) des suites réelles positives tendant vers 0. Si ces suites sont équivalentes lorsque n tend vers l'infini, alors la série un ∑ converge si et seulement si la série vn ∑ converge. A savoir 7 Dans la pratique, pour étudier la convergence d'une série positive, on peut remplacer son terme général par une suite équivalente. Proposition La série 1 n α ∑ , où α est un réel, converge si et seulement si α > 1 Pour qu'une série positive un ∑ converge, il suffit qu'il existe α > 1 tel que la suite (nαun) soit majorée. Règles usuelles de convergence Soit (un) une suite de nombres réels ou complexes. Règle de Cauchy : Si la suite ||un||1/n a une limite L, alors si L < 1 la série un ∑ est absolument convergente et si L > 1, la série est divergente. Règle de D'Alembert : si la suite un+1 un a une limite L, alors si L < 1 la série un ∑ est absolument convergente et si L > 1 la série est divergente. Définition On appelle série alternée une série réelle dont le terme général est de la forme : (–1)nun la suite (un) étant décroissante, et tendant vers 0. Théorème Toute série alternée un ∑ est convergente. 8 A savoir Posons pour tout n : Sn = u0 + … + un, la somme S de la série alternée vérifie pour tout m : S2m + 1 ≤ S ≤ S2m. Proposition Soit f une fonction réelle, définie sur [a , +∞[, décroissante et telle que : lim(f(x)) = 0 quand x tend vers l'infini. Alors l'intégrale : f (x)dx a +∞ ∫ et la série f(n) ∑ convergent ou divergent simultanément. Définition Soit (un) une suite telle que la série un ∑ converge, et soit S sa somme. Pour tout entier naturel n, posons Sn = u0 + … + un. On appelle reste d'ordre n de la série le nombre : Rn = S – Sn. Majoration de restes Dans le cas d'une série alternée, la valeur absolue du reste est inférieure à la valeur absolue du premier terme négligé (un+1). Dans le cas d'une série vérifiant le critère de Cauchy, avec : (un)1/n ≤ k < 1, pour n > N la valeur absolue du reste d'ordre n vérifie : R n uploads/Litterature/ daniel-alibert-cours-et-exercices-corrigc3a9s-volume-11.pdf