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LES SERIES DE FOURIER COURS / EXERCICES Auteur de la ressource pédagogique Gils

LES SERIES DE FOURIER COURS / EXERCICES Auteur de la ressource pédagogique Gilsinger Jean-Marc PC / GCU Création : 1994 Publication : 2016 - ··;\INSA •• I.YON LES t."enne-Jules MAREY 1887 Réimpression Département Génie Civil et Urbanisme Formation DUT+ 3 Département du 1er cycle Deuxième année SERIES J-M GILSINGER © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. SERIES DE FOURIER Merci à Badiaa AZZOUZI © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. -2- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. SERIES DE FOURIER MODE D'EMPLOI Cet ouvrage, de formation continue, s'adresse aux étudiants du niveau de deuxième et troisième années d'écoles d'ingénieurs. Il se compose d'un petit film et d'un livre. Le film présente les résultats fondamentaux ; il les illustre d'exemples visuels ou sonores et montre quelques applications choisies de préférence dans le domaine musical. Le livre donne un aperçu historique des problèmes à l'origine des séries de Fourier et expose dans les trois premiers chapitres la théorie élémentaire. Certains résultats y sont admis. Le langage géométrique des espaces de Hilbert est esquissé. Il s'avèrera décisif pour résoudre des problèmes avec conditions aux limites par développement en série de fonctions orthogonales sur le modèle des séries de Fourier. Le chapitre 4, d'analyse mathématique aborde les notions de produit de convolution, de filtre et de suite régularisante à partir desquelles sont démontrés des théorèmes importants (base hilbertienne, théorème de convergence de Dirichlet). Modélisations physiques, expérimentation d'analyse de Fourier par résonance, remarques de physique musicale puis exercices de difficulté graduée complètent l'exposé mathématique. Des correspondances film-livre sont indiquées dans le sommaire et vous trouverez en annexe des rappels sur les convergences des séries et les solutions des exercices. Nous espérons que ce document multimédia, conçu pour la formation personnelle vous aidera à maîtriser la technique des séries de Fourier et vous permettra d'entrevoir ses multiples prolongements. Bonne lecture ! -3- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. BIBLIOGRAPHIE quelques ouvrages enrichissants et d'un niveau accessible. En mathématique COMBES FERRIER GASQUET-WITOMSKI REINHARD En physique Suites et séries (PUF) Mathématique pour la licence (Masson) Analyse de Fourier et applications (Masson) Cours de mathématiques du signal (Dunod université) GARING SOUTIF Ondes (Dunod) Vibrations, propagation, diffusion (Dunod université) En histoire des sciences BACHELARD Etude sur l'évolution d'un problème de physique, la propagation thermique dans les solides (Vrin) DIEUDONNE Pour l'honneur de l'esprit humain les mathématiques aujourd'hui (Hachette Pluriel) FOURIER Théorie analytique de la chaleur (Gabay) ENCYCLOP JEDIA UNIVERSALIS Articles : (Analyse) harmonique (Espace de) Hilbert (Représentation et approximation des) fonctions lllSTOIRE des mathématiques-tome 2 Colette (Vuibert- Erpi) En physique musicale et musique CHAILLEY Expliquer l'harmonie (Editions d'aujourd'hui) HELMHOLTZ Théorie physiologique de la musique (Gabay) Les INSTRUMENTS de l'orchestre. Biblio pour la science (Belin) SCHAEFFER Traité des objets musicaux (Seuil) Le livre des TECHNIQUES DU SON-tome 1 (Eyrolles) -4- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. SOMMAIRE l· p.7 mn.2 2- p.lO mn.4 p.12 p.13 mn.S 3- p.lS p.16 p.18 4- p.19 mn.13 p.25 p.29 p.32 5- p.37 p.38 p.44 mn.ll p.SO mn.7 7- p.57 mn.4 p.61 p.65 p.69 8- p.79 mn.S p.93 Un peu d'histoire Le problème des cordes vibrantes la résolution de d'Alembert et celle de Bernoulli. L'équation de la chaleur et la solution de Fourier. Calcul des coefficients et conver&ence de la sérje de Foyrier Expression des coefficients. Critère d'Abel et critère de convergence normale. Théorème de Dirichlet. Phénomène de Gibbs (exercice). Introduction aux Hilbert Produit scalaire et norme de la convergence en moyenne quadratique. Polynôme trigonométrique meilleure approximation de f. Inégalité de Bessel. Hilbert, système total, égalité de Parseval. Produit de convolution Le filtre RC, produit de convolution, réponse fréquentielle, réponse impulsionnelle. Suite régularisante, le système (en) est total. Noyau de Poisson et théorème de Dirichlet. Fonction continue de série de Fourier divergente. Complément de physjqye et mysjqye Equation de propagation des ondes. Energie d'une corde vibrante. Quelques notes sur la gamme. La résonance Helmholtz et ses résonateurs. Le circuit électrique RLC. Exercices Calcul de coefficients et convergence de la série obtenue. Equation et propagation de la chaleur. Noyau de Poisson . Déformation d'une membrane avec conditions aux limites. Polynômes de Bernoulli, de Tchebychev. Annexes Convergences simple et uniforme d'une série de fonctions. Eléments de solution des exercices proposés. -5- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. -6- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. 1· UN PEU D'HISTOIRE Le problème de cordes vibrantes. Les séries de Fourier ont été introduites vers 1750 (Bernoulli) pour exprimer la solution du problème des cordes vibrantes : il s'agissait de calculer le petit déplacement transversal y(x,t) d'un point d'une corde de longueur e. attachée à ses extrémités, (point au temps t, d'abscisse x, ~~"'' t) d'ordonnée y(x,t) ). 1e L'équation régissant le mouvement est 0 L ..;...à2'-y--..;...a_2y _ __.l (c célérité)(*) àt2 = c2 àx2 _ avec les conditions aux limites y (O,t) = 0 et y (t,t) = 0 D'Alembert donnait en 1747 la solution générale sous la forme y (x,t) = f (ct+ x) - f (ct- x) où fest une fonction périodique de période 2 e, de classe c2. Si la corde est pincée avec la forme y= <p(x) à l'instant t = 0 et lâchée sans vitesse initiale, fest impaire et égale à~ sur [0, t]. (*) pour l'établissement de l'équation des ondes, voir 5. Exercice a. Changement de variables Soit à résoudre l'e.d.p. ~ = c2 ~} (c, célérité), c > 0, y de classe C2 avec les conditions aux limites :y (0, t) = 0 et y re. t) = 0 Onpose{u=x+at a7êb et y(x,t)=Y(u,v) , v =x+ bt Calculer t puis~ en fonction des dérivées partielles de Y. Donner l'e.d.p. vérifiée par Y. La simplifier en choisissant a et b pour qu'elle se 'd . . O?Y 0 R' d re urse a au ().J = . esou re. En déduire que les conditions aux limites permettent de trouver la solution générale donnée par d'Alembert. Montrer que les conditions initiales y (x, 0) = cp (x) et~ (x, 0) = 0 déterminent y impaire et égale à j sur {0, E]. -7- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. Pour des raisons physiques, Bernoulli proposa en 1753 la solution de l'e.d.p. avec les conditions précédentes sous la forme d'une série de solutions élémentaires harmoniques: Yn (x,t) = 2 sin nf x . cos n [ct Ces fonctions Yn (x,t) = sin [ n f(ct + x) J- sin [ n [(ct -x) J correspondent aux fonctions de d'Alembert fn (x) = sin n [x Cela conduisait à écrire pour la condition initiale <p (x) = :E 2 bn sin n [ x y(x,O) = <p (x) c'est-à-dire de représenter la fonction arbitraire <p comme série de fonctions sinus d'arcs multiples. Vers 1750 cela ne semblait pas possible. · L'équation de la chaleur La question non résolue fut reprise vers 1820 par Fourier, à l'occasion de la résolution de l'équation de la chaleur : ae a2e (*) at (x,t) =a àx2 (x,t) qui régit la température 9 d'un point X, au temps t, d'une barre de longueur e maintenue à une température nulle à ses extrémités. On suppose connue, à l'instant t = 0 la température en chaque point x, soit : e (x,O) = <p (x) -an2~ t La solution s'exprime par e (x,t) = :E bn sin n [x e e 2 et on est de nouveau conduit à écrire <p (x) = :E bn sin n [x Fourier calcule, par orthogonalité les coefficients (qui portent son nom). (*)pour l'établissement de l'e.d.p. de la chaleur voir exercice 13. -8- © [GILSINGER Jean-marc], [2016], INSA de Lyon, tous droits réservés. Exercice b. Séoaration des variables On cherche des solutions bornées (} (x,t) de l'e.d.p. a;:= a :: , a > 0 de la forme (} (x,t) = X (x). T (t), (solutions stationnaires) qui satisfassent aux conditions aux limites (} (O,t) = (} (e,t) = 0 De l'e.d.p. tirer une égalité entre un rapport de fonctions de x et un rapport de fonctions de t. Ces rapports étant constants (pourquoi ?) résoudre les deux équations différentielles, en ne retenant que les solutions bornées. Parmi celles-ci déterminer une famille 8n(x,t) de solutions (non identiquement nulles) vérifiant les conditions aux limites. En supposant que (}(x,t) = 1: bn 8n(x,t) est encore solution (des hypothèses sur la convergence seront nécessaires) montrer que la condition initiale (} (x, 0) = q; (x) donne le développement en série de sinus : q; (x) = 1: bn sinn~ x 2- CALCUL DES COEFFICIENTS ET CONVERGENCE DE LA SERIE DE FOURIER 2-1 Calcul des coefficients Soit S (x) la somme d'une série trigonométrique réelle pour les x réels où la série converge ao oo • S (x) = 2 + .f (ancos n w x + bn sm n w x) La fonction S est périodique de période T = 2rrJw (w "# 0) ao 00 einwx + e-inwx einwx - e-inwx S uploads/Litterature/ rpns000063pp.pdf