Corrig´ e. Q 1 a. Soit n ∈N. Calculons vn+1 = un+1 sin  x 2n+1  = un cos  x

Corrig´ e. Q 1 a. Soit n ∈N. Calculons vn+1 = un+1 sin  x 2n+1  = un cos  x 2n+1  sin  x 2n+1  Mais puisque ∀α ∈R, sin α cos α = 1 2 sin(2α), il vient que vn+1 = 1 2un sin  x 2n  = 1 2vn Par cons´ equent, la suite (vn) est g´ eom´ etrique de raison 1/2 et donc vn = v0 2n = sin x cos x 2n = sin(2x) 2n+1 . b. Soit n ∈N, un = vn sin  x 2n  = sin(2x) 2n+1 sin  x 2n  (Remarquons que puisque 0 < x < π/2, tous les sinus et cosinus consid´ er´ es sont non nuls) c. Utilisons l’´ equivalent usuel du sinus. Comme x 2n − − − − − → n→+∞ 0, sin  x 2n  ∼ n→+∞ x 2n (x ̸= 0). Par produit- quotient d’´ equivalents, on trouve alors que un ∼ n→+∞ sin(2x) 2x . Par cons´ equent, un − − − − − → n→+∞ sin(2x) 2x Q 2 a. On calcule a1 = 1 2 + 1 2 cos x puis b1 = r cos x + 1 2 cos2 x Mais puisque cos x = 2 cos2(x/2) −1, il vient que cos x + 1 = 2 cos2(x/2) et puisque les cosinus sont strictement positifs (0 < x < π/2), on trouve finalement b1 = r cos2(x/2) cos2 x = cos(x/2) cos x b. Par r´ ecurrence: P(n) : an > 0 et bn > 0 P(0) est vrai puisque a0 = 1 > 0 et b0 = 1/ cos(x) > 0 (0 < x < π/2). P(n) ⇒P(n + 1) : D’apr` es P(n), an > 0 et bn > 0. Alors an+1 = an + bn 2 > 0 et bn+1 est bien d´ efini avec bn+1 > 0. Q 3 a. Soit n ∈N. D’apr` es les relations de r´ ecurrence et en utilisant les quantit´ es conjugu´ ees (les termes sont > 0) : bn+1 −an+1 = p an+1bn −an+1 = √an+1( p bn −√an+1) = √an+1 bn −an+1 √bn + √an+1 = √an+1 √bn + √an+1 bn −an 2  b. Par r´ ecurrence en utilisant a). Page 1/6 c. Soit n ∈N. Calculons en utilisant b, an+1 −an = bn −an 2 > 0 En utilisant les quantit´ es conjugu´ ees, bn+1 −bn = bn(an+1 −bn) p an+1bn + bn = bn(an −bn) 2( p an+1bn + bn) < 0 Donc (an) ↗et (bn) ↘. d. On a d´ ej` a montr´ e que ∀n ∈N, bn −an > 0 ` a la question 3b. Montrons l’autre in´ egalit´ e par r´ ecurrence : P(n) : bn −an ≤1 2n  1 cos(x) −1  P(0) : b0 −a0 = 1 cos x −1 = 1 20  1 cos x −1  . P(n) ⇒P(n + 1) : En utilisant la formule (1), bn+1 −an+1 = √an+1 2(√bn + √an+1)(bn −an) ≤bn −an 2 ≤ P(n) 1 2n+1  1 cos x −1  (On a utilis´ e la majoration √an+1 ≤√bn + √an+1). e. Notons (dn) = (bn −an). La suite g´ eom´ etrique (1/2n) converge vers 0. D’apr` es la question 3d et le th´ eor` eme des gendarmes, la suite (dn) converge vers 0. Comme la suite (an) est croissante et la suite (bn) d´ ecroissante, les deux suites (an) et (bn) sont adjacentes. On sait alors qu’elles convergent vers la mˆ eme limite. Q 4 a. Par r´ ecurrence: P(n)an = un cos(x/2n) cos2 x et bn = un cos2 x P(0) : Calculons u0 cos(x/20) = u0 cos x = 1 = a0 u0 cos2 x = 1 cos x = b0 P(n) ⇒P(n + 1) Calculons, en utilisant la formule 1 + cos α = 2 cos2(α/2) : an+1 = an + bn 2 = un 2 cos2 x  cos(x/2n) + 1  = un+1 cos2 x cos(x/2n+1) bn+1 = p an+1bn = r un+1 cos(x/2n+1)un cos4 x = s u2 n+1 cos4 x = un+1 cos2 x b. Nous avons vu ` a la question 1c, que un − − − − − → n→+∞ sin x cos x x . Par cons´ equent, bn = un cos2 x − − − − − → n→+∞ tan x x et par unicit´ e de la limite, on trouve que L = tan x x . Q 5 a. Ici, L = 4 π . b. Puisque ∀n ∈N, an ≤L ≤bn, il vient que ∀n ∈N, 4 bn ≤π ≤4 an . Page 2/6 c. On a d´ ej` a vu que ∀n ∈N, 0 < bn −an. Montrons l’autre in´ egalit´ e en utilisant la formule (1). Soit n ∈N. Puisque an ≤an+1 ≤bn ≤bn+1, il vient que √an+1 2(√bn + √an+1) ≤ √an+1 2(√an+1 + √an+1) = 1 4 et donc 0 < bn+1 −an+1 ≤bn −an 4 . Par r´ ecurrence, on montre alors que ∀n ∈N, (bn −an) ≤b0 −a0 4n = √ 2 −1 4n d. L’encadrement de π pr´ ec´ edent sera ` a la pr´ ecision ε lorsque 4 an −4 bn ≤ε, c’est ` a dire 4(bn −an) anbn ≤ε. Mais puisque a0 ≤an ≤bn, il vient que 1 anbn ≤1 a2 0 et donc d’apr` es Q5c, 4 an −4 bn ≤4(bn −an) ≤b0 −a0 4n−1 = √ 2 −1 4n−1 Pour avoir un encadrement ` a 10−8 pr` es, il suffit que √ 2 −1 4n−1 ≤10−8, et donc il suffit que 4n−1 ≥ 108( √ 2 −1), c’est ` a dire (n −1) log(4) ≤8 + log( √ 2 −1). Avec la calculatrice, on touve qu’il suffit de prendre n = 14. Q 6 On suppose que la suite (pn) converge vers une limite non-nulle l. Soit n ≥1. On ´ ecrit pour n ≥1, un = pn pn−1 Donc la suite (un) converge vers l/l = 1 d’apr` es les th´ eor` emes g´ en´ eraux. (Attention, la suite (pn−1) n’est pas extraite de (pn), mais converge vers l comme on le voit imm´ ediatement ` a partir de la d´ efinition de la limite). Q 7 Soit n ≥1. On calcule en r´ eduisant au mˆ eme d´ enominateur pn = 2 1 3 2 . . . n + 1 n = n + 1 Par cons´ equent, la suite (pn) diverge vers +∞et le produit (pn) diverge. Q 8 Soit n ≥1. En notant vn = pn sin a 2n  , on calcule : vn = cos a 2  . . . cos a 2n−1  cos a 2n  sin a 2n  En utilisant la formule sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) avec α = a 2n , on trouve que vn = 1 2vn−1 La suite (vn) est donc une suite g´ eom´ etrique de raison (1/2) et donc vn = v1 2n−1 . Mais puisque v1 = cos(a/2) sin(a/2) = sin(a)/2, on en tire que vn = sin(a) 2n , et donc que pn = sin(a) 2n sin a 2n  (car a/2n est diff´ erent de kπ par hypoth` ese). En utilisant l’´ equivalent classique du sinus, puisque a/2n − − − − − → n→+∞0, un ∼sin(a) 2n a 2n = sin(a) a Donc la suite (pn) converge vers sin(a) a ̸= 0 et le produit (pn) converge vers cette limite non nulle. Q 9 Il suffit de poser k = 1/2 < 1, et d’utiliser un th´ eor` eme du cours. Page 3/6 Q 10 Soit n ≥n0. En utilisant la propri´ et´ e fonctionnelle du logarithme, on peut ´ ecrire Sn = ln un0 . . . un  (5) – (i) ⇒(ii) : on suppose que la suite (Sn) converge vers une limite finie l ∈R. En prenant l’exponentielle de la relation 5, on trouve que exp(Sn) = pn pn0−1 et donc que pn = pn0−1 exp(Sn). La suite (Sn) converge donc vers pn0−1 exp(l) car la fonction exp est continue au point l. Comme on a suppos´ e que dans tout le probl` eme, ∀n ∈N, un ̸= 0, pn0−1 ̸= 0 et donc comme cette limite est non nulle, le produit (pn) converge. – (ii) ⇒(i) : supposons que la suite (pn) converge vers une limite non-nulle l ∈R. Alors la suite de terme g´ en´ eral αn = un0 . . . un = pn pn0−1 converge vers l′ = l pn0−1 . Mais puisque pn0−1 > 0 et l > 0, l′ ≥0. Comme pn0−1 ̸= 0, il vient que l′ > 0. Donc la suite exp(Sn)  converge vers l′ > 0 et donc la suite (Sn) converge vers ln(l′) (car la fonction ln est continue au point l′). Q 11 a) Consid´ erons la fonction d´ efinie sur ]0, + ∞[ par f(x) = ln x x . Elle est d´ erivable sur uploads/Litterature/ corrige-devoir-surveille-2-pdf.pdf

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