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Questionnaire Devoir 1 MTH1101 Automne 2011 Nom: Pr´ enom: Signature: Matricule

Questionnaire Devoir 1 MTH1101 Automne 2011 Nom: Pr´ enom: Signature: Matricule: Groupe: Nom: Pr´ enom: Signature: Matricule: Groupe: R´ eserv´ e 1. /7 2. /6 3. /6 4. /8 5. /7 Clart´ e /1 Total: /35 MTH 1101 – Calcul 1 Devoir 1 - Automne 2011 DIRECTIVES: • Vous devez remettre un rapport par ´ equipe de deux ´ etudiant(e)s (au maximum), au plus tard lundi 3 octobre ` a 11h00 am, dans le casier de votre groupe pour le cours MTH1101, pr` es du local A-520.2. Dans le cas d’une ´ equipe compos´ ee d’´ etudiant(e)s provenant de deux groupes, d´ eposez le rapport dans le casier d’un des groupes et indiquez clairement le groupe de chaque ´ etudiant(e). Chaque membre d’une ´ equipe recevra la mˆ eme note. • Utilisez obligatoirement la page de pr´ esentation ci-jointe pour la remise de votre rapport et inscrivez tous les renseignements demand´ es. • Lors de la correction, il sera tenu compte de la qualit´ e et de l’initiative manifest´ ees dans le travail et de sa pr´ esentation (1 point). • Il faut obligatoirement remettre une version papier du devoir. Une version ´ electronique ne sera pas accept´ ee. Exercice 1 (7 points) Consid´ erons la suite d´ eﬁnie par : a1 = 2 an+1 = 1 3 −an , ∀n ≥1. a) En utilisant le principe de r´ ecurrence (induction math´ ematique), d´ emontrez que cette suite est strictement d´ ecroissance, born´ ee inf´ erieurement par 0 et sup´ erieurement par 2 pour tout n ≥1. b) Sans calculer la limite de la suite, dire si la suite converge. Si oui, ´ evaluez cette limite. Exercice 2 (6 points) a) Trouvez 3 valeurs distinctes positives de u telles que ∞ X n=1 (−1)n( 1 1−u)4n (2n)! = −1 2 b) Existe-t-il des valeurs de v r´ eelles telles que : ∞ X n=0 n(−v)n n! = −1 ? 1 c) Estimez la valeur de : Z 1 0 e−x2 + x2 −1 x3 dx avec une certitude que l’erreur commise est inf´ erieure ou ´ egale ` a 10−2. Exercice 3 (6 points) D´ eterminez si les s´ eries suivantes sont convergentes ou divergentes. a) ∞ X n=1 cos(n) n√n , b) ∞ X n=0 Arctan(n) 1 + n2 , c) ∞ X n=2 n ln n n . Exercice 4 (8 points) Consid´ erons la fonction f(x) = 1 x pour x ̸= 0. a) Donnez la s´ erie de Taylor de f autour de a = 2. b) Donnez le rayon et l’intervalle de convergence de la s´ erie obtenue en a). c) La s´ erie obtenue en a) vous permet-elle d’estimer : f(2.01), f(2π) ? Justiﬁez. d) Soit Pn(x) le polynˆ ome de Taylor de degr´ e n de f autour de a = 2. Utilisez l’analyse de Taylor pour d´ eterminer une borne sup´ erieure sur l’erreur d’approximation de f par Pn(x) dans un intervalle quelconque. e) Proposez un intervalle qui vous permet de conclure que la s´ erie obtenue en a) est ´ egale ` a f. D´ emontrez que votre r´ eponse est valable. Exercice 5 (7 points) a) Soient z1 et z2 deux nombres complexes tels que |z1| = 25, |z1 + z2| = 25, et |z1 −z2| = 25. Donnez toutes les valeurs de z2 qui satisfont les ´ equations. b) Expliquez pourquoi l’´ equation z −|z| = 13 + 2 i ne poss` ede aucune solution dans C. 2 c) D´ eterminez la partie r´ eelle et la partie imaginaire du nombre complexe : z = (i −1)43 (1 + i)42 . d) Soit z = cos( 2 3π) + i sin(2 3π). Calculer la somme S = z14 + z15 + z16 + · · · + z104. Indice: Voir exemple 1 ` a la p.18 du livre du cours. e) Dans le plan complexe, dessinez la r´ egion repr´ esent´ ee par Im(z) ≤Re((−1 + i)z). 3 uploads/Litterature/ dev-1-automne-11.pdf