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1°S Corrigé du devoir commun n°2 Année 2014-2015 Ex 1 : 1°) On détermine f ' (−

1°S Corrigé du devoir commun n°2 Année 2014-2015 Ex 1 : 1°) On détermine f ' (−2) graphiquement, c'est la pente de la tangente au point d'abscisse – 2. f ' (−2)= V H =3 2=1,5 donc FAUX. 2°) On remarque que Figure 1 : 1 F2 : 1 + 4 = 5 F3 : 5 + 7 = 12 F4 : 12 + 10 = 22 En extrapolant : F5 : 22 + 13 = 35 F6 : 35 + 16 = 51 F7 : 51 + 19 = 70 F8 : 70 + 22 = 92 En effet, on ajoute 3 segments de points, chaque segment étant augmenté de 1 par rapport à l'étape précédente. Donc VRAI 3°) u0=2 , u1= 1 u0+1=1 3 , u2= 1 1 3 +1 =3 4 , ainsi u0>u1 mais u1<u2 La suite n'est ni croissante, ni décroissante, FAUX Ex 2 : 1°) u1=√1+u0 2=√1+0 2=1 et u2=√1+1 2=√2 2°) 3°) a) v0=0 2=0, v1=1 2=1 et v2=√2 2=2 , la suite semble croissante. b) On étudie le signe de la différence pour tout n entier naturel. vn+1−v n=un+1 2−un 2=un 2+1−un 2=1 qui est strictement positif. Donc, pour tout n entier naturel, vn+1>vn , la suite est bien croissante. Ex 3 : A l'aide de la calculatrice, on détermine moyenne et écart-type pour l'entreprise P.Kein. ¯ x≈99,66 et σ≈1,648 . Il y a 90 valeurs. 90 / 4 = 22,5 et 3/4 de 90 = 67,5, donc les quartiles 1 et 3 sont respectivement les 23° et 68° valeurs. Ainsi : quartile 1 = 99 et quartile 3 = 101. On peut maintenant pour chaque entreprise déterminer [¯ x−2σ; ¯ x+2σ] et l'interquartile Q3−Q1 . Pour P.Kein : [¯ x−2σ ; ¯ x+2σ] donne environ [ 96,364 ; 102,956 ] Interquartile = 2 Ainsi, 81 / 90 soit 90 % de la production vérifie le critère A. Pour B.Jing : [¯ x−2σ; ¯ x+2σ] donne [ 120,66 ; 128,52 ] Interquartile = 3 Ainsi, 100 % de la production vérifie le critère A. A préférera B.Jing car le pourcentage trouvé est plus élevé , B préférera P.Kein car l'interquartile est plus petit. Ex 4 : Partie 1 : f (x)=1 4 x 2+2 1°) Pour h différent de 0, f (2+h)−f (2) h = 1 4 (2+h) 2+2−3 h = h+ 1 4 h 2 h =1+ 1 4 h qui tend vers 1 quand h tend vers 0. Donc, f est dérivable en 2 et f ' ( 2 ) = 1. 2°) Pour h différent de 0, f (a+h)−f (a) h = 1 4 (a+h) 2+2−1 4 a 2−2 h = 1 2 ah+ 1 4 h 2 h =1 2 a+ 1 4 h qui tend vers a 2 quand h tend vers 0. Donc, f est dérivable en a et f ' ( a ) = a / 2. Partie 2 : 1°) (T a) a une équation de la forme y = mx + p avec m=f ' (a)=a 2 Ainsi : y=a 2 x+ p Or, le point A(a ,f (a)) c'est à dire A(a , 1 4 a 2+2) est un point de (T a) . Ainsi : 1 4 a 2+2=a 2×a+ p d'où p=−a 2 4 +2 Équation de (T a) : y=a 2 x+2−a 2 4 2°) P(2,0)∈(T a)⇔a 2×2+2−a 2 4 =0⇔−1 4 (a 2−4a−8)=0⇔a 2−4 a−8=0 3°) Δ = 48 Δ > 0 il y a donc deux solutions réelles. a1=4+√48 2 =2+2√3 et a2=2−2√3 4°) Les solutions ci-dessus sont les abscisses des points A et B. On détermine leurs ordonnées. On obtient A(2−2√3;6−2√3) et B(2+2√3;6+2√3) On calcule alors les distances Ap et BP, on obtient : AP=√51−24√3 et BP=√51+24 √3 Ex 5 : a. Si α = 19 π 3 , alors l’algorithme affichera π 3 . Cet algorithme permet d’obtenir la mesure principale d’un angle dont une mesure est strictement supérieure à π. b. Variable α est un réel négatif Entrée …. Traitement Si α≤−π alors Tant que α≤−π , α prend la valeur α + 2 π Fin tant que Fin de si Sortie Afficher α c. (⃗ OI ;⃗ OL)=−11π 6 [2π] = π 6 [2π] ([2π] signifiant pour nous « à 2kπ près, k entier relatif ») d. (⃗ O L;⃗ O K )=(⃗ OL;⃗ OI)+(⃗ OI ;⃗ OK)[2 π] = −(⃗ O I ;⃗ O L)+(⃗ OI ;⃗ O K)[2π ] = 11π 6 + 25π 4 [2 π] = 194 24 π [2 π] = 1 12 π [2 π] Par construction, on a OLK triangle isocèle direct en O. Donc : (1) (⃗ LK ;⃗ LO)=(⃗ KO;⃗ K L) [2π ] (2) (⃗ LK ;⃗ LO)+(⃗ KO;⃗ KL)+(⃗ OL;⃗ OK) = π [2π ] (3) (⃗ OL;⃗ OK) = 1 12 π [2 π] Il vient, en injectant (1) et (3) dans (2) que (⃗ LK ;⃗ LO)=11 24 π [2 π] e. Cos (2α) = √3 2 ⇔ Cos (2α) = Cos ( π 6 ) ⇔ 2α = π 6 +2k π ou 2α = - π 6 +2kπ avec k entier relatif ⇔ α = π 12 +kπ ou α = - π 12 +kπ avec k entier relatif Ce qui nous donne k=0 π 12 - π 12 k=1 13 π 12 11 π 12 k=-1 −11π 12 −13 π 12 Et donc 4 solutions dans ] –π ; π] : π 12 , - π 12 , 11 π 12 , −11π 12 BONUS : On sait que sin² ( π 12 ) = 1 – cos² ( π 12 ) = 1 – ( 1+cos(2 π 12) 2 ) = 1 – ( 1+cos( π 6 ) 2 ) = 1 – ( 1+ √3 2 2 ) = 1 - 2+√3 4 = 2−√3 4 Donc sin² ( π 12 ) = 2−√3 4 et π 12 ϵ [0 ; π] donc sin ( π 12 ) > 0. Il vient que sin ( π 12 ) est √ 2−√3 4 . uploads/Litterature/ devoir-commun-math-2-lycee-jacques-prevert-corrige.pdf