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schéma d’un réservoir B A C D S H Devoir commun de Mathématiques – mercredi 07

schéma d’un réservoir B A C D S H Devoir commun de Mathématiques – mercredi 07 mai 2008 − 2 heures ▪ Le sujet comporte 4 pages. ▪ La feuille annexe doit être rendue avec tes copies ▪ La rédaction, la présentation et le soin apporté à la copie entreront pour une part importante dans la note finale. ▪ Tous les calculs et toutes les réponses doivent être justifiés. Activités numériques 10,5 pts Exercice 1 2,5 pts On donne A = 2 3 – 5 3 × 21 15 B = 2 2 2 4 3 + A = − = × × × × − = 3 7 3 2 3 5 3 7 3 5 3 2 3 5 − B = = + = 8 9 4 4 9 1,125 Exercice 2 5,5 pts On considère l’expression A = (2x + 3)(3x + 1) – (2x + 3)2 1) = − − − + + = + + − + + + = 9 x 12 x 4 3 x 11 x 6 ) 9 x 12 x 4 ( 3 x 9 x 2 x 6 A 2 2 2 2 6 x x 2 2 − − 2) [ ] [ ] 3 x 2 1 x 3 ) 3 x 2 ( ) 3 x 2 ( ) 1 x 3 ( ) 3 x 2 ( A − − + + = + − + + = = ) 2 x )( 3 x 2 ( − + 3) Puisque (2x + 3)(x − 2) = 0 alors (2x + 3) = 0 ou (x − 2) = 0 donc 3 2 x − = ou x = 2 4) Pour x = –1, on a A = 1× (−3) = −3 (en utilisant la forme factorisée). Exercice 3 2,5 pts Le schéma ci-contre représente le développement des côtés d’un réservoir à base carrée. On veut calculer la longueur d’un côté. (les dimensions sont données en cm) 1) On obtient l’égalité : 214 = 4 x + 18 2) D’où 196 = 4 x x = 4 196 = 49 3) Un côté mesure 49 cm. Activités géométriques 18 pts Exercice 1 2 pts Réponse A Réponse B Réponse C Ta réponse 1) SH 2 = HB 2 + SB 2 SB 2 = SH 2 + BH 2 HB 2 = SB 2 + SH 2 B 2) SABCD est une pyramide régulière à base carrée. Le triangle HAB est isocèle Le triangle HAB est rectangle Le triangle HAB est rectangle et isocèle C 3) L’arête d’un cube mesure 2 cm. Son volume est égal à : 6 cm 3 8 cm 3 24 cm 3 B 4) ∆ et ∆’ sont deux droites parallèles alors le quotient AB CD est égal à : AI CA ID IB IA IC C ∆ ∆’ I A B C D U O A I M O B P C A 37° 88 m 1,69 m Exercice 2 4 pts On considère la figure F F F F : 1) F F F F ’ image de la figure F F F F par la symétrie d’axe (∆). 2) Voir la figure ci-contre : a) F F F F 1, image de la figure F F F F par la symétrie de centre B. b) F F F F 2, image de la figure F F F F 1 par la symétrie de centre C. 3) Puisque F F F F 2 est l’image de F F F F par deux symétries centrales consécutives, alors F F F F 2 est l’image de F F F F par une translation. Le vecteur de translation est 2 × →  BC (ou encore →  AT ) Exercice 3 3,5 pts Michel s'est reculé pour mieux admirer un monument en entier. Il se trouve maintenant à 88 m de celui-ci et l'angle entre l'horizontale de ses yeux et le haut du monument est de 37° (schéma ci-dessous). 1) Dans le triangle OAB rectangle en B, on a : tan OB AB ) B O ˆ A ( = donc ) B O ˆ A tan( OB AB × = donc AB ≈ × = ) 37 tan( 88 66,31 (m) 2) On déduit donc AC ≈66,31 + 1,69 = 68 (m) Donc Michel est en train d’admirer Notre Dame de Paris. Exercice 4 8,5 pts Les segments [OA] et [UI] se coupent en M. MO = 21 mm MA = 27 mm MU = 28 mm MI = 36 mm AI = 45 mm 1)        = = = = 9 7 27 21 MA MO part autre ' D 9 7 36 28 MI MU part une ' D De plus, puisque les points U, M, I et O, M, A sont alignés dans le même ordre, alors, d’après la réciproque de Thalès, les droites (UO) et (AI) sont parallèles. 2) Puisque      ∈ ∈ ) AI //( ) UO ( ) MA ( O ) MI ( U alors, d’après le théorème de Thalès AI UO MA MO MI MU = = Donc 45 UO 36 28 = donc UO = × = 36 45 28 35 3)      = + = + = = 2025 36 27 MI AM part autre ' D 2025 45 AI part une ' D 2 2 2 2 2 2 Puisque AI 2 =AM 2 +MI 2 , alors d’après la réciproque de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M. 4) Dans le triangle AMI rectangle en M, on a : cos( M I ˆ A ) 45 36 IA IM = = donc M I ˆ A = ≈       − 45 36 cos 1 37 ° 5) Puisque les droites (UO) et (AI) coupées par la sécante (AO) sont parallèles, alors les angles alternes internes MAI et MOU sont de même mesure. donc MA MO MI MU = Problème 11,5 pts Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules. . • Formule A : payer une participation de 0,50 € par livre emprunté. • Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 € par an et ne payer qu'une participation de 0,20 € par livre emprunté. • Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 € par an et emprunter autant de livres que l'on veut. Partie I 5 pts 1) Nombre de livres empruntés par an 10 30 45 Prix à payer avec la formule A en € 5 15 22,50 Prix à payer avec la formule B en € 9,50 13,50 16,50 Prix à payer avec la formule C en € 15,50 15,50 15,50 2) On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an. PA (x) = 0,5 x PB (x) = 7,5 + 0,2 x 3) 0,5 x = 7,5 + 0,2 x donc 0,3 x = 7,5 donc x = = 3 , 0 5 , 7 25 Pour 25 livres emprûntés, on paye le même prix avec les tarifs A et B. Partie II 6,5 pts 1) a) Tracer un repère orthogonal (O, I, J). Vous prendrez votre feuille « en format portrait » et O sera placé en bas à gauche. On prendra les unités suivantes : ● 1 cm pour 5 livres sur l'axe des abscisses. ● 1 cm pour 1 € sur l'axe des ordonnées. b) Tracer dans ce repère : ● la droite DA qui représente la fonction x a 0,5 x ● la droite DB qui représente la fonction x a 0,2 x + 7,5 ● la droite DC qui représente la fonction x a 15,5 2) En utilisant le graphique, on trouve les réponses suivantes : a) Si on emprunte 28 livres en un an, le tarif B est le plus avantageux. b) À partir de 40 livres empruntés par an, la formule C est la plus intéressante. uploads/Litterature/ dnb-blanc-mai-2008-corrige-pdf.pdf