MAT302 : Séries, intégrales et intégrales généralisées Université Grenoble Alpe

MAT302 : Séries, intégrales et intégrales généralisées Université Grenoble Alpes 2017-2018 Contrôle continu 1 le 26 octobre 2017 de 12h30 à 14h30 Les documents, calculatrices, téléphones portables ainsi que tous les autres dispositifs électro- niques sont strictement interdits. Seule une feuille recto-verso manuscrite est autorisée. Toutes les réponses doivent être justifiées et la qualité de la rédaction sera prise en compte. Exercice 1. Autour du cours (2 points). 1. Que signifie « la série de réels  X n≥0 an  converge » ? 2. Soient  X n≥0 an  et  X n≥0 bn  deux séries à termes positifs. On suppose que pour tout n on a l’inégalité an ≤bn. Démontrer le critère de comparaison suivant : Si  X n≥0 bn  converge alors  X n≥0 an  converge. Exercice 2. (4 points) Dire si les séries suivantes sont convergentes et, dans l’affirmative, calculer leur somme : 1. X n≥3 ln( 32 13π) 3n−2 2. X n≥2 n + 1 n! Exercice 3. (6 points) Déterminer la nature des séries de terme général un dans les cas suivants : 1. un = 2n + 3n n3 + ln(n) + 5n 2. un = n en 3. un = (−1)n √n + 1 4. un =  1 −3 n2 n 5. un =  1 −2 n n3 6. un = (−1)n sin(1/n)√n Exercice 4. (4 points) Pour tout a > 0, discuter la nature de la série X n≥0 2 √n 2 √n + an. Exercice 5. (5 points) Posons u1 := 1. Pour tout n ≥1 on définit par récurrence un par la formule un+1 := 1 ne−un . 1. Montrer que pour tout n, 0 < un+1 ≤1 n. 2. En déduire un équivalent de un. 3. Déterminer la convergence de la série de terme général un. 4. Déterminer la convergence de la série de terme général un n . 5. Déterminer la convergence de la série de terme général (−1)nun. Exercice 6. (4 points) En comparant à une intégrale, donner un équivalent de un = n X k=1 (ln k)2. (Indication : une primitive de x 7→(ln x)2 est x 7→x(2 −2 ln x + (ln x)2).) MAT332 : Séries, intégrales et intégrales généralisées Université Grenoble Alpes 2017-2018 Contrôle continu 1 le 26 octobre 2017 de 12h30 à 14h30 Documents, calculators, telephones and any other electronic device is strictly forbidden. A recto- verso handwritten sheet is authorized. All the answers have to be justified, and the quality of the redaction will be taken into account. Exercise 1. About the lectures (2 points). 1. What does it mean « the series of real numbers  X n≥0 an  converges » ? 2. Let  X n≥0 an  and  X n≥0 bn  be two series with positive general terms. We assume that for all n we have the inequality an ≤bn. Prove the following comparison criterion : If  X n≥0 bn  converges, then  X n≥0 an  converges too. Exercise 2. (4 points) Are the following series convergent ? If yes, compute their sum : 1. X n≥3 ln( 32 13π) 3n−2 2. X n≥2 n + 1 n! Exercise 3. (6 points) Give the nature of the series with general term un in the following cases : 1. un = 2n + 3n n3 + ln(n) + 5n 2. un = n en 3. un = (−1)n √n + 1 4. un =  1 −3 n2 n 5. un =  1 −2 n n3 6. un = (−1)n sin(1/n)√n Exercise 4. (4 points) For all a > 0, give the nature of the series X n≥0 2 √n 2 √n + an. Exercise 5. (5 points) Let u1 := 1. For all n ≥1 we define un inductively by the formula un+1 := 1 ne−un . 1. Show that for all n, 0 < un+1 ≤1 n. 2. Deduce an equivalent of un. 3. Determine the nature of the series with general term un. 4. Determine the nature of the series with general term un n . 5. Determine the nature of the series with general term (−1)nun. Exercise 6. (4 points) Comparing with an integral, give an equivalent of un = n X k=1 (ln k)2. (Hint : a primitive of x 7→(ln x)2 is x 7→x(2 −2 ln x + (ln x)2).) uploads/Litterature/ cc1-mat302-2017-18.pdf

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