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Représentations d’état linéaires des systèmes mono-entrée, mono-sortie Modélisa

Représentations d’état linéaires des systèmes mono-entrée, mono-sortie Modélisation, analyse et commande : notions de base et un peu plus θ (Easy Control of an Inverted Pendulum) Olivier Eugène BACHELIER Éditions Lily et Aksel L’auteur en pleine réﬂexion Représentations d’état linéaires des systèmes mono-entrée, mono-sortie Modélisation, analyse et commande : notions de base et un peu plus Version du 9 avril 2019 Objet Cet ouvrage d’Automatique, écrit d’abord au Laboratoire d’Informatique et d’Automatique pour les Systèmes (LIAS), puis au domicile de l’auteur, est la version étendue d’un cours s’inscrivant dans le cadre de la deuxième année de « cycle ingénieur » de l’École Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Poitiers (ENSIP) et s’adressant initialement aux étudiants de la spécialité Maîtrise de l’Énergie Électrique (MEE). Ces derniers ont déjà suivi un enseignement relatif à l’étude des systèmes linéaires modélisés par une fonction de transfert (approche fréquentielle). Le cours initial (et donc le présent ouvrage qui s’ensuit) s’intéresse aux mêmes systèmes mais propose une étude via un modèle diﬀérent, appelé représentation d’état linéaire (approche temporelle). Cette version étendue vise bien sûr un plus large public. Elle comprend plus de détails, plus d’exemples, d’exercices et de corrections, ainsi que quelques biographies. La bibliographie est plus fournie. L’ENSIP est une composante de l’Université de Poitiers. Le LIAS est un laboratoire de recherche sous tutelle de l’ENSIP et de l’École Nationale Supérieure de Mécanique et d’Aérotechnique (ENSMA). Connaissances préalables souhaitées : notions de systèmes linéaires, équations diﬀérentielles, fonction de transfert en p (voire en z), analyse et commande des systèmes linéaires par approche fréquentielle, quelques bases d’algèbre linéaire. À bon lecteur, salut ! Il est temps de battre en brèche le lieu commun selon lequel les mathématiques prouvent. Elles découvrent. Joshua Chover, mathématicien... et peintre Beware the savage jaw of ? ? ? ?. ≃E+⋆ Avant-propos ... sous forme de questions avec de vraies fausses réponses et d’obscures considéra- tions. L’approche temporelle de l’Automatique, parfois qualiﬁée de « moderne », eût pu tout aussi bien devenir l’approche « classique » en lieu et place de l’approche fré- quentielle et de ses fonctions de transfert. Du reste, ce qualiﬁcatif de « moderne » n’a lieu d’être qu’en Europe occidentale et en Amérique mais n’a pas vraiment de sens, par exemple, dans l’ancien bloc soviétique. Le modèle utilisé pour décrire le com- portement des systèmes à commander, et sur lequel s’appuie l’approche temporelle, est la représentation d’état, qui fait l’objet de ce document. Mais elle n’est qu’une écriture formalisée regroupant des équations diﬀérentielles et algébriques, c’est-à- dire des modèles bien connus depuis quelques siècles. Alors pourquoi l’approche temporelle n’émergea-t-elle pas naturellement comme approche classique dans la communauté scientiﬁque occidentale? Je n’ai pas de réponse certaine à cette question et je ne suis pas historien des sciences (ça ne s’improvise pas comme dirait mon ami Patrice Remaud), mais je me risque ici à une tentative d’explication succincte. La manipulation et l’analyse des équations diﬀérentielles, fussent-elles linéaires, ne sont pas toujours aisées. Les premières interrogations sur la nature et les propriétés des solutions d’une équa- tion diﬀérentielle remontent à I. Newton 1, G. W. von Leibnitz 2 et aux frères J. et J. Bernouilli 3. Quant à l’idée d’en transformer les propriétés par un moyen de 1. Philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome britannique (1642 ou 1643- 1727). 2. Gottfried Wilhelm Leibnitz, philosophe, mathématicien, juriste et diplomate allemand (1646-1716). 3. Jacques (1654-1705) et Jean (1667-1748), mathématiciens et physiciens suisses. Les trois ﬁls de Jean sont également de célèbres scientiﬁques. ix commande (dans un contexte évidemment plus physique), ouvrant ainsi la voie du calcul mathématique d’une loi de commande à partir d’un modèle, il semble que la paternité en revienne à J. C. Maxwell 4. Toutefois, « attaquer » ces équations diﬀérentielles par la « face nord » n’est pas toujours très motivant. En revanche, l’uti- lisation de la transformation de Laplace 5 (Marquis P. S. de Laplace, un Français) ou du calcul opérationnel de O. Heaviside 6 (un Britannique) sont des alternatives à cette manipulation directe. Ces alternatives ont aussi l’avantage de conduire à une interprétation fréquentielle dans laquelle les systèmes à commander sont plutôt vus comme des ﬁltres. La variable de Laplace p, diﬃcile à interpréter physiquement dans sa généralité, se rapproche alors de iω, i représentant l’unité imaginaire, la grandeur ω étant une pulsation (la relation avec la travail de J. Fourier 7, un autre Français, est évidente). Il s’agit là des bases d’une approche fréquentielle de l’Au- tomatique dont le modèle clef est la fonction de transfert avec laquelle le lecteur gagnera à se sentir un minimum familier avant de poursuivre l’étude de cet ouvrage. Ce point de vue fréquentiel s’appuie donc sur les travaux de savants essentiellement européens, qui plus est, d’Europe occidentale. Il permit plus tard à l’électronique (analogique) de s’aﬃrmer en tant que discipline scientiﬁque à part entière dans les années 1930 avec les travaux précurseurs de H. S. Black, de H. Nyquist, puis dans les années 1940, de H. W. Bode 8. L’eﬀort de guerre nécessaire à cette période, ef- fort également scientiﬁque, contribua à cette aﬃrmation de l’approche fréquentielle en électronique puis en Automatique. Des ingénieurs et chercheurs états-uniens re- prirent les habitudes « fréquentielles » des mathématiciens et physiciens européens. Ainsi, en occident (c’est-à-dire aux États-Unis puis dans le reste de ce qui serait le bloc de l’ouest), cette approche, qui avait alors de vraies visées en Automatique, parut quelque temps comme presque déﬁnitive et s’installa dans le monde de l’in- génierie et dans celui qui l’alimente en concepts, à savoir le monde académique de l’enseignement et de la recherche. Cependant, dans une autre partie de l’Europe où l’électronique ﬂorissait sans doute un peu moins, le cheminement intellectuel n’avait pas donné lieu à cette approche fréquentielle et la fonction de transfert n’était pas poulaire, voire pas utilisée. Ce n’est pas pour autant que l’on n’y faisait pas d’Automatique. Bien au contraire. 4. James Clerk Maxwell, physicien et mathématicien écossais (1831-1879), célèbre pour les équations éponymes décrivant de façon uniﬁée les phénomènes électromagnétiques. 5. voir biographie 2.1 page 40. 6. voir biographie 2.2 page 41. 7. Baron Joseph (ou Jean Baptiste Joseph) Fourier, mathématicien et physicien français (1768-1830). 8. cf. biographies 2.4, 2.3, et 2.5, page 42. Éditions Lily et Aksel x Simplement, on n’y avait pas abandonné la manipulation directe des équations diﬀé- rentielles, même non linéaires, et les théories en vogue y étaient plutôt les méthodes de A. M. Liapounov 9 où les travaux de L. S. Pontryaguine 10. Aussi hermétiques que pussent à première vue paraître ces travaux pour un occidental de l’époque, ils n’em- pêchèrent pas les Soviétiques d’emporter la bataille initiale de la conquête spatiale en étant les premiers à envoyer, avec succès, un satellite dans l’espace (Spoutnik 1 en 1957). De quoi interpeler leurs homologues occidentaux. Ainsi, aux États-Unis, une équipe fut mise sur pied, sous la houlette du mathématicien S. Lefschetz 11, pour étudier le potentiel des approches soviétiques, notamment les méthodes de Liapounov. La reconnaissance de l’intérêt de ces approches fut telle que le premier congrès mondial de la fédération internationale d’Automatique (International Federation of Automatic Control (IFAC)) eut lieu, de façon consensuelle, à Moscou, dans un contexte pourtant tendu entre les deux grandes puissances de l’époque. Lors de ce congrès, R. E Kálmán 12, l’un des membres de l’équipe de S. Lefschetz, qui avait déjà bien avancé dans ses recherches, proposa un formalisme matriciel pour écrire les systèmes d’équations algébro-diﬀérentiels linéaires pouvant décrire le comporte- ment de certains systèmes. Il jeta ainsi les bases (et même plus) de la représentation d’état, c’est-à-dire de ce que le lecteur trouvera dans ce document, et dans bien d’autres plus approfondis. Kálmán et ses acolytes (R. E. Bellman et J. E. Bertram notamment) mirent en évidence les possibilités d’exploiter les propriétés de l’algèbre linéaire dans un tel contexte et ce fut le renouveau, dans les années 1960-1970, de l’approche temporelle, curieusement requaliﬁée de « moderne ». Un avantage certain de ce formalisme est la facilité avec laquelle il s’adapte aux systèmes comprenant plusieurs entrées et plusieurs sorties. Cette adaptation est bien moins évidente avec l’approche fréquentielle. Par ailleurs, l’approche temporelle facilite souvent l’implan- tation numérique des lois de commande. Pour autant, nulle ne fut question, fort logiquement du reste, d’abandonner les fonctions de transfert. Les deux approches sont complémentaires et ce document ne cherche en aucun cas à dénigrer un modèle au proﬁt d’un autre. L’outil le meilleur est souvent celui que l’on maîtrise le mieux. 9. mathématicien et physicien russe (1857-1918) : voir sa biographie en annexe page 772. 10. mathématicien soviétique (1908-1988). 11. Solomon Lefschetz, mathématicien russe d’origine turque (1884-1972) : voir biogra- phie 3.1 page 76. 12. voir biographie en annexe I.2 page 777. Éditions Lily et Aksel xi On eût pu s’attendre à ce que les deux approches cohabitassent dans les documents didactiques, les cours etc. Selon moi, ce ne fut pas le cas pour ce qui concerne la France. Il semble que l’enseignement de l’Automatique en France, quoique de qua- lité, fut assez lent à uploads/Litterature/ evolre-b5.pdf