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Universit´ e Mohammed V-Agdal Facult´ e des Sciences Juridiques, ´ Economiques

Universit´ e Mohammed V-Agdal Facult´ e des Sciences Juridiques, ´ Economiques et Sociales, Rabat Printemps–´ Et´ e 2006/2007 Section : A & B Semestre : S2 www.fsjesr.ac.ma Fili` ere de Sciences ´ Economiques et de Gestion Module 6 : M´ ethodes Quantitatives I Mati` ere : Math´ ematiques I Professeure Amale LAHLOU Corrig´ e du Contrˆ ole de Rattrapage ´ Enonc´ e Exercice 1 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie par : f(x) = ln µ1 −x 1 + x ¶ 1. D´ eterminer Df, le domaine de d´ eﬁnition de f ; 2. Montrer que la fonction f est bijective en pr´ ecisant son ensemble de d´ epart et son ensemble d’arriv´ ee ; 3. D´ eterminer sa fonction r´ eciproque. Exercice 2 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur R par : f(x) = ln ¡ e2x −ex + 1 ¢ 1. D´ eterminer les ´ eventuels points extremums et points d’inﬂexion de la fonction f ; 2. En d´ eduire le domaine de convexit´ e de f. Exercice 3 D´ eterminer le D´ eveloppement Limit´ e, ` a l’ordre 2 et au voisinage de 1, de la fonction d´ eﬁnie par : f(x) = ln(x) 1 + x2 en eﬀectuant dans une ´ etape interm´ ediaire la division se- lon les puissances croissantes ` a un ordre bien d´ etermin´ e. Exercice 4 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur R\{1} par : f(x) = (x −2)e 1 x−1 . 1. D´ eterminer le D´ eveloppement G´ en´ eralis´ e de f au voisinage de l’inﬁni et ` a l’ordre 1, 2. D´ eterminer les ´ equations des asymptotes ` a Cf, la courbe repr´ esentative de f, au voisinage de l’inﬁni, 3. Pr´ eciser la position de Cf par rapport ` a ses asymp- totes. R´ eponse Exercice 1 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie par : f(x) = ln µ1 −x 1 + x ¶ 1. D´ eterminons le domaine de d´ eﬁnition de f. La fonction f est la compos´ ee de deux fonctions : x 7→1−x 1+x qui n’est d´ eﬁnie que si 1+x ̸= 0 (i.e., x ̸= −1) et la fonction X 7→ln(X) qui est bien d´ eﬁnie pour tout X > 0. Alors, Df = ½ x ∈R, / x ̸= −1 et 1 + x 1 −x > 0 ¾ . ´ Etudions le signe de 1 −x 1 + x : x −∞ −1 1 +∞ 1 −x + | + ∅ − 1 + x − ∅ + | + 1 −x 1 + x − ∥ + ∅ − on constate donc que : 1 + x 1 −x > 0 ⇔ x ∈] −1, +1[. Par suite, Df =] −1, +1[. 2. Montrons que la fonction f est bijective en pr´ ecisant son ensemble de d´ epart et son ensemble d’arriv´ ee. D’une part, la fonction f est continue sur son domaine de d´ eﬁnition puisque c’est la compos´ ee de fonctions continues sur ] −1, 1[ et d’autre part, f est strictement d´ ecroissante sur cet intervalle ; en eﬀet, par un calcul simple on montre que : f ′(x) = −2 (1 −x)2 < 0. D’o` u, la fonction f est bijective de ]−1, 1[ vers f(]−1, 1[). Or, f(] −1, 1[) = ¸ lim x→1−f(x), lim x→−1+ f(x) · = ] −∞, +∞[ 3. D´ eterminons la fonction r´ eciproque de f. Comme f est bijective de ] −1, 1[ vers R, alors sa fonction r´ eciproque f −1 existe et est d´ eﬁnie de R vers ] −1, 1[. Soit y ∈R, y = f(x) ⇐ ⇒ y = ln µ1 −x 1 + x ¶ ⇐ ⇒ ey = 1 −x 1 + x ⇐ ⇒ x = 1 −ey 1 + ey ⇐ ⇒ x = f −1(y) Soit donc, Prof. Amale LAHLOU Corrig´ e du Contrˆ ole de Rattrapage /Math´ ematiques I / MQ I / M 6 S 2 / Session : Printemps–´ Et´ e 2006-2007 Page 2 f −1 : R − → ] −1, 1[ x 7− → f −1(x) = 1 −ey 1 + ey Exercice 2 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur R par : f(x) = ln ¡ e2x −ex + 1 ¢ 1 D´ eterminons les ´ eventuels points extremums et points d’inﬂexion de la fonction f. La fonction f est de classe C∞sur R. D´ eterminons tout d’abord les points critiques de f, i.e., les racines de l’´ equation f ′(x) = 0 on parle de la condtion n´ ecessaire du premier ordre. f ′(x) = 0 ⇐ ⇒ ex(2ex −1) e2x −ex + 1 = 0 ⇐ ⇒ 2ex −1 = 0 ⇐ ⇒ ex = 1 2 ⇐ ⇒ x = ln µ1 2 ¶ ⇐ ⇒ x = −ln(2) Calculons f(−ln(2)) : f(−ln(2)) = ln ³ e−2 ln(2) −e−ln(2) + 1 ´ = ln µ1 4 −1 2 + 1 ¶ = ln µ3 4 ¶ Donc le point ¡ −ln(2), 3 4 ¢ est un point critique de f et c’est le seul. Appliquons maintenant les conditions suﬃsantes du se- cond ordre : tout calcul fait on obtient, f ′′(x) = ex ¡ −e2x + 4ex −1 ¢ (e2x −ex + 1)2 ´ Etudions le signe de f ′′(x) : posons X = ex. Ainsi, f ′′(x) = 0 ⇐ ⇒ −e2x + 4ex −1 = 0 ⇐ ⇒ −X2 + 4X −1 = 0 Le discriminant est ∆′ = 3, donc l’´ equation −X2 + 4X − 1 = 0 admet deux racines ` a savoir 2− √ 3 > 0 et 2+ √ 3 > 0. D’o` u, les racines de l’´ equation f ′′(x) = 0 sont ln(2 − √ 3) et ln(2 + √ 3) Calculons f(ln(2 − √ 3)) et f(ln(2 + √ 3)) : f(ln(2 − √ 3)) = ln ³ e2 ln(2− √ 3)) −eln(2− √ 3) + 1 ´ = ln ³ (2 − √ 3)2 −(2 − √ 3) + 1 ´ = ln ³ 3(2 − √ 3) ´ = ln(3) + ln(2 − √ 3) f(ln(2 + √ 3)) = ln ³ e2 ln(2+ √ 3)) −eln(2+ √ 3) + 1 ´ = ln ³ (2 + √ 3)2 −(2 + √ 3) + 1 ´ = ln ³ 3(2 + √ 3) ´ = ln(3) + ln(2 + √ 3) Dressons le tableau de variation de f ′′ : x −ln(2) ln(2 − √ 3) ln(2 + p (3) f′′(x) − ∅ + ∅ − f(x) concave convexe concave ⇝Comme f ′′(−ln(2)) < 0 alors, la fonction f pr´ esente un maximum relatif au point ¡ −ln(2), 3 4 ¢ . ⇝Comme l’´ equation f ′′(x) = 0 admet deux racines ` a savoir : ln(2 − √ 3) et ln(2 + √ 3) et en plus f ′′ change de signe de part et d’autre de ces points alors les points ¡ ln(2 − √ 3), ln(3) + ln(2 − √ 3) ¢ et ¡ ln(2 + √ 3), ln(3) + ln(2 + √ 3) ¢ sont deux points d’inﬂexion de f. 2. D´ eterminons le domaine de convexit´ e de f. ⇝Si x ∈] −∞, ln(2 − √ 3)] ∪[ln(2 + √ 3), +∞[ alors f est concave, ⇝Si x ∈[ln(2 − √ 3), ln(2 + √ 3)] alors f est convexe. Exercice 3 D´ eterminons le D´ eveloppement Limit´ e, ` a l’ordre 2 et au voisinage de 1, de la fonction d´ eﬁnie par : f(x) = ln(x) 1 + x2 Posons le changement de variable x = 1 + h, quand x →1 alors h →0 et on a : f(x) = ln(x) 1 + x2 = ln(1 + h) 1 + (1 + h)2 = ln(1 + h) 2 + 2h + h2 Or le D´ eveloppement Limit´ e, ` a l’ordre 2 et au voisinage de 0, de ln(1 + h) est donn´ e par : ln(1 + h) = h −h2 2 + o(h2) Prof. Amale LAHLOU Corrig´ e du Contrˆ ole de Rattrapage /Math´ ematiques I / MQ I / M 6 S 2 / Session : Printemps–´ Et´ e 2006-2007 Page 3 Comme la valuation du d´ enominateur est nulle, on peut ef- fectuer la division selon les puissances croissantes de h−h2 2 par 2 + 2h + h2 ` a l’ordre 2 : h −h2 2 2 + 2h + h2 −h −h2 −h3 2 h 2 −3h2 4 −3h2 2 −h3 2 . . . . . . Il vient donc, ln(1 + h) 2 + 2h + h2 = h 2 −3h2 4 + o(h2) En rempla¸ cant h par (x −1) on obtient : f(x) = 1 2(x −1) −3 4(x −1)2 + o ¡ (x −1)2¢ Exercice 4 Soit la fonction r´ eelle d´ eﬁnie sur R\{1} par : f(x) = (x −2)e 1 x−1 et Cf sa courbe repr´ esentative. 1. D´ uploads/Litterature/ exam-rattrapage-math-corrige 1 .pdf