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Arithmétique dans Z Dominique Hoareau, domeh@wanadoo.fr Table des matières 1 En

Arithmétique dans Z Dominique Hoareau, domeh@wanadoo.fr Table des matières 1 En amont. 3 2 Diviser pour mieux régner. 3 2.1 Division euclidienne dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Écriture d´un entier en base b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1 Division euclidienne au service d´un codage des entiers . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2 Passage de la base 10 à une base b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.3 Écriture en base b au service de la "potence euclidienne" . . . . . . . . . . . . . 6 3 Divisibilité et congruences 6 3.1 Lorsque la division euclidienne tombe juste ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.2 Lorsque la division euclidienne est incongrue ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Diviseurs communs 12 4.1 Les cavaliers de la (petite) reine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Allez Bizut montre nous tes ..., allez Bézout montre nous ton ... . . . . . . . . . . . . . 14 4.3 Une équation diophantienne incontournable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Quelques joyaux de la reine 18 5.1 Décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.2 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 6 Pour aller plus loin 21 6.1 Éléments marginaux de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6.2 Éléments associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.3 Éléments indivisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.4 Notions de pgcd et ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.5 Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.6 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.6.1 Entre les anneaux euclidiens ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.6.2 et les anneaux factoriels, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.6.3 le principal, c´est Bézout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 Arithmétique dans Z Références : – Mathématiques d´école, Daniel Perrin, Cassini, 2005. – Merveilleux nombres premiers, J-P. Delahaye, Belin, 2000. – Découvrir l´arithmétique, P. Damphousse, Opuscules, Ellipses, 2000. – Diagonales, les cahiers mathématiques du Cned, numéro 2 année 2001-2002 et numéro 2 année 2005-2006. – http ://www.irem.univ-mrs.fr/activites/superieur/arithmetique.php, R. Rolland. – http ://perso.orange.fr/maths.rombaldi/Capes/AlgebreCapes.pdf, J-E. Rombaldi. – http ://mon.univ-montp2.fr/claroline/document/goto/ ?url=%2Fpoly9.pdf&cidReq=ARI Introduction : Il est aisé de former les entiers lorsqu´on utilise l´addition. On part de 1 et on ajoute à chaque fois 1 au nombre déjà construit. On a 2 = 1 + 1, puis 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 et ainsi de suite. On peut dire que 1 est un générateur pour (N, +). Peut-on construire les entiers avec la multiplication ? On apprend très tôt que certains nombres entiers se cassent (ex : 6 = 2 × 3) alors que d´autres, comme 7, sont d´un seul tenant. Ces derniers, irréductibles ou insécables, s´appellent nombres premiers et, comme de véritables briques numé- riques, entrent dans la composition de tous les autres entiers. On tente d´apprivoiser ces êtres aux propriétés mystérieuses... On propose un exposé niveau TS-Spécialité, dans l´esprit des programmes, c-à-d sous un éclairage algorith- mique. Des compléments algébriques, qui règlent, en quelques coups de cuillère à pot, certaines constructions et résolutions de problèmes, sont proposés sous la rubrique «Pour aller plus loin». Dans la dernière partie du texte, on évoque, pour d´autres anneaux, la force «euclidienne» de Z (algorithme d´Eucide), sa force «prin- cipale» (Théorème de Bézout) et sa force «factorielle» (Théorème fondamental de l´arithmétique). On suppose connus l´ensemble N des entiers naturels et l´objet Z des relatifs munis de l´addition, de la multi- plication et de la relation d´ordre total notée ⩽. On dispose d´une batterie de bons sous-objets de Z (comme, par exemple, l´ensemble des entiers pairs) : ce sont les nZ = {nq, q ∈Z} dont les éléments, appelés multiples de n, forment une suite arithmétique de raison n. Question du jury : Qui se cache derrière 2Z.3Z = {xy ∈Z, x ∈2Z et y ∈3Z} ? Réponse : «Ils se multiplièrent et eurent beaucoup d´enfants.» Pour aller plus loin : L´ensemble Z est un anneau commutatif, unitaire, intègre, et totalement ordonné. Les nZ, dont n constitue un générateur, vériﬁent 1. la stabilité pour la loi additive : ∀(k, l) ∈nZ, k + l ∈nZ. 2. la stabilité pour le passage à l´opposé : ∀k ∈nZ, −k ∈nZ. 3. la propriété d´absorption : ∀k ∈nZ, ∀l ∈Z, kl ∈nZ. donc sont "des" idéaux (monogènes ou principaux) de Z. Exercice 1 : Si a, b ∈Z vériﬁent a + b ∈nZ et ab ∈nZ, alors a2 ∈nZ. Corrigé : Il suﬃt de relier a+b, ab et a2 : a est racine du trinôme x2 −(a+b)x+ab, c-à-d a2 = (a+b)a−ab. Question du jury : : 1. Pour n, m ∈N, donner une condition nécessaire et suﬃsante pour avoir nZ = mZ. 2. Sur les traces de Galilée, peut-on mettre en bijection Z et sa partie stricte N ? Réponse : Il suﬃt d´envoyer n sur 2n si n ∈N, sur −2n −1 si n ∈Z−\ {0}. 2 Arithmétique dans Z 1 En amont. On rappelle une propriété fondamentale de N, qui «irrigue» la suite du texte : Bon ordre sur N : 1. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (pour l´ordre usuel). 2. Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. Voici deux autres incarnations du bon ordre sur N : 1. le théorème de récurrence, 2. la descente inﬁnie de Fermat. Propriété : Il n´y a pas de suite strictement décroissante à valeurs dans N. Preuve : On raisonne par l´absurde. Si tel est le cas, soit (un) un tel objet. L´ensemble de ses valeurs est une partie non vide et minorée (par 0) de N donc admet un minimum, un certain uN. Puisque (un) décroît strictement, uN+1 < uN, ce qui contredit le statut uploads/Litterature/ arithmetique-z.pdf