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Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation Examen Nationa

Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l’Orientation Examen National de Brevet de Technicien Supérieur Session de Mai 2017 - Sujet- Page 1 2 Filières: DSI – SRI -MCW Durée: 2 Heures Épreuve: MATHEMATIQUES Coefficient 15 6 points Exercice 1 : On considère l’équation différentielle suivante :  2 : 2 3 x E y y y e      , où y est une fonction de la variable réelle x , deux fois dérivable sur . Soit  : 2 0 H y y y      l’équation homogène associée à  E . 1 1. Résoudre l’équation différentielle   H . 1 2. Vérifier que la fonction g définie par :  2x g x xe  est une solution particulière de l’équation différentielle  E 1 3. Déterminer la solution générale de E . 1 4. Déterminer la solution f de  E vérifiant les conditions suivantes :  0 1 f  et  0 3 f   . 5. Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur par :    2 1 x f x x e   . 1 a- Montrer que le développement limité de f à l’ordre 2 au voisinage de 0 est :    2 2 1 3 4 f x x x o x    . 1 b- En déduire l’équation de la tangente  T à la courbe   f C au point   0, 1 A  et préciser sa position par rapport à   f C . 4 points Exercice 2 : Déterminer la nature des séries suivantes : 1 1. 3 1 1 n n   . 1 2. 0 2 1 n n n    ( On pourra utiliser le critère de D’Alembert). 1 3. 2 1 1 1 n n n            ( On pourra utiliser le critère de Cauchy) 1 4.   2 0 1 1 n n n     . Brevet de Technicien Supérieur – Session Mai - 2017 Filières : DSI –SRI - MCW Épreuve: Mathématiques Page 2 2 6 points Exercice 3 : Soit la matrice suivante: 1 0 0 1 1 1 3 0 2 A              1 1. a- Montrer que le polynôme caractéristique de A est :      1 1 2 A P        0,5 b- Donner les valeurs propres de A . 0,5 c- En déduire que A est diagonalisable. 2. On considère les matrices suivantes : 1 0 0 0 1 1 1 0 1 P            , 1 0 0 1 1 1 1 0 1 Q              et 1 0 0 0 1 0 0 0 2 D             1,5 a- Calculer PQ , puis en déduire que P est inversible et donner son inverse 1 P . 1 b- Vérifier que : 1 P AP D   . 0,5+1 c- Soit n , Calculer n D en fonction de n , puis en déduire n A en fonction de n . 4 points Exercice 4 : On admet que le nombre de fautes d’impression par page dans un livre obéit à la loi de Poisson de paramètre 2  . Calculer les probabilités des événements suivants : 1 1. N’ avoir aucune faute. 1 2. Avoir au moins deux fautes. 2 3. Avoir entre 3 et 6 fautes (Bornes comprises). Fin de l’épreuve uploads/Litterature/ examen-national-du-bts-dsi-mcw-sri-session-de-mai-2017.pdf