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M256 2020/21 examen dur´ ee 2h. Toutes les r´ eponses doivent ˆ etre justiﬁ´ ee

M256 2020/21 examen dur´ ee 2h. Toutes les r´ eponses doivent ˆ etre justiﬁ´ ees. exercice 1. (6 points) Discuter la convergence (ou la convergence absolue) des s´ eries num´ eriques et int´ egrales g´ en´ eralis´ ees suivantes. a) ∑ √n n2+1, ∑sin(n) n2 . b) ∫+∞ 0 sin(t)dt, ∫+∞ 1 cos(t) t2 dt. exercice 2. (7 points) Soit fn : [0, +∞[→R donn´ ee par fn(x) = nx 1+n2x2 (pour n ≥1). a) Montrer que la suite de fonctions (fn) converge simplement sur [0, +∞[ vers une fonction f qu’on d´ eterminera. b) On ﬁxe n. Calculer le maximum de la fonction fn sur [0, +∞[. c) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle vers f uniform´ ement sur [0, +∞[ ? d) La suite de fonctions (fn) converge-t-elle vers f uniform´ ement sur [1, +∞[ ? exercice 3. (7 points) Soit f : R →R la fonction 2π-p´ eriodique d´ eﬁnie sur [−π, π] par f(x) = 0 pour x dans [−π, −π 2 [ ou ] π 2 , π], et f(x) = 1 pour x dans [−π 2 , π 2 ]. a) Dessiner le graphe de f sur plusieurs p´ eriodes. b) La fonction f est-elle paire, impaire, ou ni paire ni impaire ? c) Calculer les coeﬃcients de Fourier r´ eels a0(f), puis an(f) et bn(f) pour n ≥1. d) En d´ eduire le calcul de ∑+∞ p=0 (−1)p 2p+1 . uploads/Litterature/ examen.pdf