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On appelle marche aléatoire sur une suite de variables aléatoires à valeurs dans telle que, pour tout , il existe tel que, pour tout , . On appelle matrice de transition de la marche aléatoire la matrice . 1. Démontrer que, pour tout , on a . 2. Une puce se déplace sur un triangle de la façon suivante. Si elle est sur un sommet, elle se déplace de façon équiprobable sur l'un des deux autres sommets (elle ne peut rester sur place). Donner la matrice de transition dans ce cas. 3. On appelle matrice état au temps la matrice colonne . Démontrer que, pour tout , on a . 4. On dit que la marche aléatoire est convergente si la suite est convergente. Démontrer que si la marche aléatoire est convergente, ce ne peut être que vers un état stable de la marche, c'est-à-dire vers une solution de . 5. Le cas : on considère dans cette question une marche aléatoire à deux états, on note et . Démontrer que, pour tout , on a . En déduire que les suites et sont convergentes vers des réels que l'on précisera. 6. On retourne à l'étude de la marche aléatoire sur le triangle. 6.1. Démontrer, sans aucun calcul, que la matrice est diagonalisable. 6.2. Démontrer que pour tout entier , on a où IP Capital Open Iprime Capital E = {1, … , d} E (Xn) E i, j ∈{1, … , d}2 pi,j ≥0 n ≥1 P(Xn = i|Xn−1 = j) = pi,j A = (pi,j)1≤i,j≤d j ∈{1, … , d} ∑d i=1 pi,j = 1 A n Un = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ P(Xn = 1) ⋮ P(Xn = d) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ n ≥1 Un = AnU0 (Un) AU = U d = 2 A = ( 1 −p q p 1 −q ) Un = ( pn qn ) n ≥1 pn+1 = (1 −p −q)pn + q (pn) (qn) A n An = ⎛ ⎜ ⎝ un vn vn vn un vn vn vn un ⎞ ⎟ ⎠ 6.3. En déduire que, quelque soit l'état initial , la suite est convergente. Indication Corrigé 1. On écrit tout simplement où est l'événement . Puisque est l'événement certain, on a donc ce qui donne le résultat. 2. On a 3. Il s'agit simplement d'une question de compréhension d'énoncé. Les règles du produit matriciel donnent simplement, pour tout , . Par une récurrence aisée, on en déduit que . 4. Il suffit de passer à la limite dans , la multiplication par une matrice fixe étant une opération continue sur . 5. On a On reconnait une suite arithmético-géométrique, qu'on étudie de façon très classique en introduisant qui est une suite géométrique de raison . Les conditions et entrainent que et donc que la suite tend vers 0. On en déduit que converge vers . Puisque , on obtient aussi que converge vers . 6. 6.1. La matrice est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable! 6.2. Ceci se démontre facilement par récurrence sur , en remarquant que et que . 6.3. La matrice est donc convergente vers la matrice ne comportant que des . La suite converge donc, en effectuant le produit, vers le vecteur (rappelons que la somme des termes de fait 1). Exercice 2 - Une puce sur un carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé un = (1 −( ) n−1 ) et vn = (1 −( ) n ) . 1 3 −1 2 1 3 −1 2 U0 (Un) d ∑ i=1 pi,j = d ∑ i=1 P(X1 = i|X0 = j) = P(A|X0 = j) A A = {∃i = 1, … , d; X1 = i} A P(A|X0 = j) = 1 A = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 ⎞ ⎟ ⎠ . n ≥0 Un+1 = AUn Un = AnU0 Un+1 = AUn R3 pn+1 = (1 −p)pn + qqn = (1 −p)pn + q(1 −pn) = (1 −p −q)pn + q. un = pn − q p + q 1 −p −q 0 < p < 1 0 < q < 1 |1 −p −q| < 1 (un) (pn) q p+q qn = 1 −pn (qn) p p+q A n un+1 = vn vn+1 = (un + vn)/2 A 1/3 (Un) ⎛ ⎜ ⎝ 1/3 1/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ U0 On considère un carré et son centre . On note . Une puce se déplace aléatoirement en sautant d'un point de à un autre. La seule contrainte est que, si un saut relie deux sommets du carré, ceux-ci sont adjacents. Par exemple, une puce se trouvant en peut sauter en , ou ; une puce se trouvant en peut sauter en , , ou . A chaque saut, tous les déplacements possibles sont équiprobables. La puce ne reste pas deux fois de suite au même endroit. Au départ, c'est à dire avant son premier saut, la puce se trouve au point Pour tout entier , on note l'évènement "la puce se trouve au point à l'issue de son -ème saut". On note . On a donc . On définit de même les évènements , , et . 1. Calculer et . 2. Pour tout entier naturel démontrer les égalités On pourra raisonner par récurrence sur . 3. 3.1. Démontrer que pour tout entier naturel , . 3.2. En déduire la valeur de pour . 3.3. Quelle proportion du temps la puce passe-t-elle sur chacun des points de ? Indication Corrigé 1. Si au départ la puce est en , après son première saut, elle ne peut pas être en . On a donc . Après le premier saut, la puce est de façon équiprobable en , , ou . Quelque soit le sommet, la probabilité qu'elle revienne en après le deuxième saut est égale à . On a donc . Pour une rédaction plus précise, on peut écrire que d'après la formule des probabilités totales, 2. Démontrons ce résultat par récurrence sur . La propriété est vraie pour . Supposons la propriété vraie au rang , et démontrons-la au rang . Les événements et forment un système complet d'événements. On peut donc écrire la formule des probabilités totales en utilisant cette partition de l'univers. De plus, on sait que On en déduit que cette dernière égalité venant de l'hypothèse de récurrence. Le même calcul peut être réalisé à partir de chacun des sommets ou et conduira au même résultat. On en déduit que la ABCD O Γ = {A, B, C, D, O} Γ A B D O O A B C D O n ≥1 On O n pn = P(On) p0 = 1 An Bn Cn Dn p1 p2 n ≥1 P(An) = P(Bn) = P(Cn) = P(Dn). n n pn+1 = (1 −pn) 1 3 pn n ∈N Γ O O p1 = 0 A B C D O 1/3 p2 = 1/3 p2 = P(O2) = P(O2|A1)P(A1) + P(O2|B1)P(B1) + P(O2|C1)P(C1) + P(O2|D1)P(D1) P(A1) = P(B1) = P(C1) = P(D1) = 1 4 P(O2|A1) = P(O2|B1) = P(O2|C1) = P(O2|D1) = . 1 3 n n = 1 n n + 1 An, Bn, Cn, Dn On P(An+1|An) = P(An+1|Cn) = 0, P(An+1|Bn) = P(An+1|Dn) = , 1 3 P(An+1|On) = . 1 4 P(An+1) = P(Bn) + P(Dn) + P(On) = P(An) + P(On), 1 3 1 3 1 4 2 3 1 4 B, C D propriété est vraie au rang , donc vraie pour tout . 3. 3.1. On va utiliser les résultats démontrés dans l'hérédité : puisque pour tout et en utilisant le résultat de la question précédente, on sait que Maintenant, on a prouvé que On en déduit bien que 3.2. On a une classique suite arithmético-géométrique. On cherche la limite possible en résolvant l'équation dont la solution est . La suite définie par vérifie pour tout . On en déduit que pour tout , puis que, en observant que , 3.3. Le temps moyen passé en , après étapes, est Puisque la somme tend vers une limite quand tend vers l'infini (car ), on en déduit que La puce passe un quart du temps en . Par symétrie des autres sommets (comme observée plus haut), elle va passer sur uploads/Litterature/ exercices-corriges-marches-aleatoires.pdf