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ISPA Cifap 2019 Chapitre 3: Dynamique des Fluides Parfaits Incompressibles - Ex

ISPA Cifap 2019 Chapitre 3: Dynamique des Fluides Parfaits Incompressibles - Exercice corrigé 1 – Equation de continuité - Exercice corrigé 2 – Equation de Bernoulli - Exercice corrigé 3 – Principe fondamental de la dynamique - Exercice corrigé 4 - Relation fondamentale de l’hydrostatique - Exercice corrigé 5 – Tube de Venturi - Exercice corrigé 6 – Pompe - Exercice corrigé 7 – Turbine - Exercice corrigé 8 – Théorème d’Euler - Exercice corrigé 9 – Théorème d’Euler ISPA Cifap 2019 2 Exercice N°1 Equation de continuité On veut accélérer la circulation d’un fluide parfait dans une conduite de telle sorte que sa vitesse soit multipliée par 4. Pour cela, la conduite comporte un convergent caractérisé par l’angle α (schéma ci-dessus). 1) Calculer le rapport des rayons (R1 / R2) 2) Calculer (R1-R2) en fonction de L et α. En déduire la longueur L. (R1=50mm, α=15°) ISPA Cifap 2019 3 Correction N°1 Equation de continuité 1) Calcul du rapport R1/R2: 2) Calculer (R1 –R2). Déduire L: 2 V V R R ou d' . S et . S or V V S S .S V .S V : continuité de équation l' applique On 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1        R R   mm 93,3 L A.N. α 2.tg R L donc 2 R R or α tg R R L donc L R R α tg 1 1 2 2 1 2 1        ISPA Cifap 2019 4 Exercice N°2 Théorème de Bernoulli On considère un réservoir remplie d’eau à une hauteur H = 3m, muni d’un petit orifice à sa base de diamètre d = 10 mm. 1) En précisant les hypothèses prises en compte, appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la vitesse V2 d’écoulement d’eau. 2) En déduire le débit volumique Qv en (l/s) en sortie de l’orifice. On suppose que g = 9,81 m/s2 ISPA Cifap 2019 5 1) Calcul de la vitesse d’écoulement V2: On applique le théorème de Bernoulli avec les hypothèses suivantes: * V1 ≈ 0 car le niveau dans le réservoir varie lentement * P1 = P2 = Patm 2) Déduire le débit volumique QV en sortie de l’orifice: Correction N°2 Théorème de Bernoulli QV=V 2.S or S=π.d 2 4 =π.(10.10 −3) 2 4 =7,87.10 −5 m 2   m/s 7,67 3 9,81 2 V A.N. 2.g.H V 0 Z Z g. ρ P P 2 V V 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2             ISPA Cifap 2019 6 Exercice N°3 Principe fondamental de la dynamique La figure ci-dessous représente un piston qui se déplace sans frottement dans un cylindre de section S1 et de diamètre d1 = 4 cm remplit d’un fluide parfait de masse volumique ρ = 1000 kg/m3. Le piston est poussé par une force F d’intensité 62,84 N à une vitesse V1 constante. Le fluide peut s’échapper vers l’extérieur par un cylindre de section S2 et de diamètre d2 = 1 cm à une vitesse V2 et une pression P2 = Patm = 1 bar. ISPA Cifap 2019 7 Exercice N°3 Principe fondamental de la dynamique 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique au piston, déterminer la pression P1 du fluide au niveau de la section S1 en fonction de F, Patm et d1 2) Ecrire l’équation de continuité et déterminer l’expression de la vitesse V1 en fonction de V2 3) En appliquant l’équation de Bernoulli, déterminer la vitesse d’écoulement V2 en fonction de P1 , Patm et ρ. (On suppose que les cylindres sont dans une position horizontale (Z1 = Z2)) 4) En déduire le débit volumique QV ISPA Cifap 2019 8 Correction N°3 Principe fondamental de la dynamique 1) Calcul de la pression P1: 2) Déterminer la vitesse V1 en fonction de V2 : bar 1,5 Pa 1,5.10 10 0,04 3,14 62,84 4 P A.N. P π.d 4.F P .S P .S P F : PFD 5 5 2 1 atm 2 1 1 1 1 1 atm            16 V V . 4 1 V . V S S . V V .S V .S V : continuité de Equation 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1                      d d ISPA Cifap 2019 9 Correction N°3 Principe fondamental de la dynamique 3) Déterminer la vitesse d’écoulement V2: 4) Déduire le débit volumique QV :       m/s 10 1000 10 1,5.10 . 255 512 V A.N. ρ P P . 255 512 V donc 16 V V et P P ; Z or Z 0 Z - Z g ρ P P 2 V V : Bernoulli de Equation 5 5 2 atm 1 2 2 1 atm 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2              /s m 0,785.10 .10 4 0,01 3,14 Q A.N. .V 4 π.d Q 3 3 2 v 2 2 2 v      ISPA Cifap 2019 10 Exercice N°4 Relation fondamentale de l’hydrostatique On considère une conduite de diamètre intérieur d = 40 mm dans laquelle s’écoule de l’eau à une vitesse V. Afin de mesurer le débit volumique, la canalisation a été équipée de deux tubes plongeant dans le liquide, l’un débouchant en A face au courant et l’autre en B est le long des lignes de courant. En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse V. On admet les hypothèses suivantes: - L’écoulement est permanent - Le fluide est parfait et incompressible - Au point B, VB = V (vitesse de la canalisation) - Au point A (point d’arrêt), VA = 0 - ZA = ZB ; ρ = 1000 kg/m3; g = 9,81 m/s2 ISPA Cifap 2019 11 Exercice N°4 Relation fondamentale de l’hydrostatique 1) Appliquer le théorème de Bernoulli entre les points A et B. En déduire la pression PA au point A en fonction de PB, ρ et V. 2) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points A et A’. 3) Ecrire la relation fondamentale de l’hydrostatique entre les points B et B’ 4) Donner l’expression de V en fonction de g et h. 5) En déduire le débit volumique qv . Faire une application numérique pour une dénivellation h = 3,2 cm. ISPA Cifap 2019 12 Correction N°4 Relation fondamentale de l’hydrostatique 1) Déterminer la pression PA: 2) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre A et A’: 3) Relation fondamentale de l’hydrostatique entre B et B’: 2 B A B A B A 2 B 2 A . . 2 1 P P donc V V et 0 V ; Z or Z . 2 1 . . P . 2 1 . . P : Bernoulli de Théorème V V Z g V Z g B B A A                  A A Z Z g    ' A' A . . P P    B B Z Z g    ' B' B . . P P  ISPA Cifap 2019 13 4) Donner l’expression de V: 5) Déduire le débit volumique qv : Correction N°4 Relation fondamentale de l’hydrostatique     2.g.h V ρ.g.h ρ.V 2 1 donc h Z et Z Z Z ; P P P or ρ.V 2 1 Z Z ρ.g. P Z Z ρ.g. P : obtient on (3) et (2) (1), relations les utilisant En 2 B' A' B A atm B' A' 2 B B' B' A A' A'               l/s 1 q A.N. 2.g.h . 4 π.d S.V q v 2 v    ISPA Cifap 2019 14 Dans le tube de Venturi représenté sur le schéma ci-dessous, l’eau s’écoule de bas en haut. Le diamètre du tube en A est dA = 30cm, et en B il est de dB = 15cm. Afin de mesurer la pression pA au point A et la pression pB au point B, deux manomètres à colonne d’eau (tubes piézométriques) sont connectés au Venturi. Ces tubes piézométriques sont gradués et permettent de mesurer les niveaux ZA’ = 3,061m et ZB’ = 2,541m respectivement des surfaces libres A’ et B’. On donne: - ZA = 0 m, ZB = 50 cm - pA’ = pB’ = patm = 1 bar - g = 9,8 m/s2 , ρ = 1000 kg/m3 Exercice N°5 uploads/Litterature/ exercice-mdf-bm-chap3-dynamique-fluide-parfait.pdf