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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 1/18

Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 1/18 LIMITES – EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Déterminer la limite éventuelle en + ∞ de chacune des fonctions suivantes : 1) f x x ( ) = 1 3 2) 3) f x x ( ) = − 4 f x x ( ) = −+ 3 1 Déterminer la limite éventuelle en −∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) 5) f x x ( ) = − 3 f x x ( ) = + 5 1 6) f x x ( ) = − Déterminez les limites suivantes 7) lim ( ) x x x →+∞ + − 2 1 1 8) lim( ) x x x x → > − + 0 0 2 4 1 9) 10) lim ( ) x x x →−∞− + − 2 3 4 3 − −∞ → x xlim 11) 2 lim 3 2 x x x →+∞−+ 12) 13) ( ) lim 1 x x x →+∞ −+ ( ) ( ) lim 3 4 t t →−∞− − t 14) 1 lim 3 x x x →−∞   +     Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a avec : 15) f x x a ( ) , = − = 1 2 2 16) f x x a ( ) , = − + = − 2 3 3 17) f x x a ( ) , = = 1 0 2 Exercice n°2. Déterminer les limites de ) 2 )( 1 ( ) ( − + = x x x x f en x = 2 et x = -1 . Exercice n°3. Déterminez les limites suivantes 1) x x x f 1 2 ) ( 2 − = en 2) + ∞       = x x 1 cos ) ( g en ∞ − Exercice n°4. Vrai ou Faux ? 1) Si une fonction f est strictement croissante et positive sur [ [ 0;+∞, alors lim ( ) x f x →+∞ = +∞ 2) Si une fonction f a pour limite 0 en , alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe +∞ 3) Si une fonction f a pour limite -1 en , alors, à condition de prendre x suffisamment grand, tous les nombres réels f(x) sont de même signe +∞ Exercice n°5. f est une fonction numérique dont l'expression est 2 ( ) f x ax x b = + − . Déterminer a et b sachant que et li 3 lim ( ) x f x + → = +∞ 5 m ( ) 11 x f x → = Exercice n°6. Déterminez les limites suivantes : 1) 2) lim 3) 10 2 3 lim 2 + − +∞ → x x x 2 5 4 3 − + − −∞ → x x x lim x x x x →+∞ + + + 3 4 1 2 2 4) lim x x x →−∞ − + + 8 1 4 16 3 5) li 6) m x x x x → − − − 2 2 2 2 2 2 1 2 m 2 1 x x x → 3 li x x + − − − 7) 9 3 m 9 x x → li x − − Exercice n°7. Trouver deux fonctions f et g telles que lim ( ) x f x →+∞ = +∞ et lim ( ) x g x →+∞ = +∞ et telles que : 1) 2) lim ( ) ( ) 1 x f x g x →+∞ − = ( ) m 7 ( ) x f x g x →+∞ = li Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 2/18 Exercice n°8. Déterminez les limites suivantes : 1) x x x − + +∞ → 3 lim 2) ) 2 ( 3 4 lim 2 + − + + +∞ → x x x x Exercice n°9. 1) Soit f une fonction telle que pour tout x>1, 2 2 ( ) f x 2 x x ≤ ≤ . Déterminer lim ( ) x f x →+∞ 2) Soit f une fonction telle que pour tout x>1, 2 3 ( ) 2 f x 3 x x ≤ − ≤ . Déterminer lim ( ) x f x →+∞ Les propriétés suivantes permettent-elles de conclure concernant lim ( ) x f x →+∞ et lim ( ) x f x →−∞ ? 3) 4) f x ( ) 2 3 f x x ≥ − 2 ( ) 3 x ≥ − Exercice n°10. On considère la fonction définie sur [ par [ +∞ ; 0 4 ) ( + − = x x x f 1) Montrer que pour tout [ [ +∞ ∈ ; 0 x x x f 3 ) ( ≥ 2) Déterminer lim ) (x f x +∞ → Exercice n°11. Soit la fonction f définie sur [ [ 0; D = +∞ par ( ) 2 f x x = + − x 1) Démontrer que, pour tout x de D, on a : 2 ( ) 2 f x x x = + + . 2) Démontrer que, pour tout : ] [ 0; x∈ +∞ 2 0 ( ) f x x ≤ ≤ 3) En déduire la limite de la fonction f en . +∞ Exercice n°12. On considère la fonction numérique f définie par ( ) 2 sin f x x x = − 1) Montrer que pour tout x réel 2 1 ( ) 2 1 x f x x −≤ ≤ + 2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers ∞ − Exercice n°13. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en ∞ + et en ∞ − de chacune des fonctions f suivantes (si elles existent): 1) 1 cos ( ) x f x x + = 2) 2 sin ( ) 1 x x x = f x + ; Exercice n°14. On veut trouver la limite en +∞ de x x x f ² 1 : + 6 1) Montrer que pour x>0 , ( ) 2 2 2 1 1 x x x < + < + 2) En déduire pour x>0 un encadrement de f(x). 3) En déduire la limite de f en . +∞ Exercice n°15. Soit x un réel de 0; 2 π      . Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( ) ; ; O i j G G , on considère les points A(1;0), M(cos x;sin x), P(cos x;0) et T(1;tan x). Soit A1 l'aire du triangle OAM, A2 l'aire du secteur de disque OAM et A3 l'aire du triangle OAT. 1) En comparant ces aires, prouver que : sin x ≤ x ≤ tan x. 2) En déduire que cos x < sinx x < 1. 3) Déterminer la limite de sinx x en 0 (étudier les cas x < 0 et x > 0). Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr Page 3/18 Exercice n°16. En utilisant le résultat li (cf exercice précédent), étudiez les limites en 0 des fonctions : m sin x x x → = 0 1 1) x x x →sin5 2 2) x x x →sin3 3) x x x →sin sin 5 4 4) x x x →tan Exercice n°17. En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer 3 6 3 lim 3 x x x → + − − 0 sin lim x x x → 2 cos lim 2 x x x π π → − Exercice n°18. Déterminer 0 tan lim x x x → 1 1 lim 1 x x x → − − 6 2cos2 1 lim 6 x x x π π → − − Exercice n°19. Retrouver les limites de f(x) à partir du graphique connaissant les asymptotes Exercice n°20. Dans chacun des cas ci-dessous, on donne trois fonctions et la représentation graphique C de l’une d’entre elles. Retrouver celle qui est représentée, en justifiant (qu'est-ce qui permet d'éliminer les 2 autres ?) 1er cas ( )( ) 1 1 ( ) 1 2 f x x x = − + + ou ( )( ) 2 1 ( ) 1 2 f x x x = + − ou ( )( ) 3 1 ( ) 1 2 f x x x = − + − 2ème cas ( ) 1 2 1 ( ) 2 g x x = − ou 2 2 1 ( ) 1 ( 2) g x x = − + ou ( ) 3 2 1 ( ) 2 g x x = − + Exercice n°21. Rechercher les asymptotes parallèles aux axes que peuvent présenter les courbes des fonctions suivantes : 1) 3 1 uploads/Litterature/ limit-es-exercice-s-corrige-s.pdf