Travaux dirigés : No 03 Enoncés Révision de l’algèbre linéaire Exercice 3.1 (Ma

Travaux dirigés : No 03 Enoncés Révision de l’algèbre linéaire Exercice 3.1 (Matrice d’Attila). Soit n dans N∗, et soit A la matrice de Mn(K) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Déterminer Ak pour k ∈N. Exercice 3.2 (CCP PSI 2005). Soit A = (ai,j)1⩽ij⩽n dans Mn(R) où aij = 1 si i ̸= j et aii = 0. Calculer Ap pour p dans N∗. Exercice 3.3. Soit A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0  . 1. Montrer que A est nilpotente d’indice 3. 2. Montrer qu’il n’existe pas X dans M3(R) telle que X2 = A. Exercice 3.4. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f dans L (E) tel que f 3 = 0 et f 2 ̸= 0. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est   0 1 0 0 0 1 0 0 0  . Exercice 3.5. Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n telles que A + B = AB. Montrer que In −A est inversible. Exercice 3.6. Soit n dans N∗. 1. Soit N une matrice nilpotente dans Mn(K). Montrer que les matrices In−N et In+N sont inversibles. 2. On note A la matrice définie par A =         0 1 0 · · · 0 0 0 ... ... . . . . . . ... ... 0 0 1 0 · · · 0         . Montrer que In + A est inversible et déterminer son inverse. Exercice 3.7. Soit n dans N∗. Soit M dans Mn+1(R) définie par M = Ci−1 j−1  1⩽i,j⩽n+1. Montrer que M est inversible et donner son inverse. Exercice 3.8 (CCP MP 2006 et 2007). Soit n dans N∗, soient u et v les aplications linéaires définies sur Rn[X] par ∀P ∈R [X] , u(P) = P(X + 1) et v(P) = P(X −1). 1. Déterminer le rang de f = u −v à partir de sa matrice. 2. Retrouver ce résultat par une autre méthode. Exercice 3.9. Étudier en fonction de λ dans R le rang de la matrice Aλ =     1 1 1 1 1 −1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 λ −λ    . Lycée Ibn Timiya-Marrakech 1 Spéciale MP* Travaux dirigés : No 03 Enoncés Révision de l’algèbre linéaire Exercice 3.10 (Navale MP 2006). Soient A =     0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0    , B =     0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0    et C =     0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0    . 1. Montrer que A et B ne sont pas semblables. 2. Montrer que A et C sont semblables. Indication de la rédaction : on cherchera la matrice de l’endomorphisme associé à C dans une nouvelle base obtenue par permutation des vecteurs de la base canonique. Exercice 3.11. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Déterminer la trace des endomorphismes suivants : 1. une homothétie h de rapport λ, 2. un projecteur p, 3. une symétrie s. Exercice 3.12. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. 1. Montrer que l’ensemble H = {M ∈Mn(K), Tr (M) = 0} est un sous-espace vectoriel de Mn(K) et en déterminer la dimension. 2. Donner une base de H. 3. Soit φ l’application, qui à toute matrice M de Mn(K), associe φ(M) = Tr (M) In −M. Montrer que φ est un endomorphisme de Mn(K) et déterminer sa trace. 4. Etablir que φ ◦φ = (n −2)φ + (n −1) Id. En déduire que pour n ⩾2, l’application φ est inversible et déterminer son inverse. Exercice 3.13. Soient A dans Mm,n (R), B dans Mp,q (R) et C dans Mm,q (R). On note r le rang de A et s le rang de B. 1. Montrer que le rang de la matrice M1 =  A 0 0 B  est égal à r + s = rgA + rgB. 2. Comparer le rang de la matrice M2 =  A C 0 B  avec r + s. 3. On suppose que B est inversible. Montrer qu’alors le rang de la matrice M2 =  A C 0 B  est encore égal à r + s = rgA + rgB. Exercice 3.14 (CCP PSI 2005). Soit N =      a1 a1 . . . a1 a2 a2 . . . a2 . . . . . . . . . an an . . . an     où α = n X i=1 ai ̸= 0 et M = (bij)1⩽i,j⩽n la matrice définie par : i ̸= j ⇒bij = 2aij et bii = ai − n X j=1 j̸=i aj. Lycée Ibn Timiya-Marrakech 2 Spéciale MP* Travaux dirigés : No 03 Enoncés Révision de l’algèbre linéaire 1. Calculer N 2. 2. Montrer que M est inversible et déterminer son inverse. Exercice 3.15 (CCP PSI 2005). Soit J =   0 0 1 1 0 0 0 1 0  et soit C(J) = {M ∈M3(R) | MJ = JM}. 1. Montrer que C(J) est un sous-espace vectoriel et en donner une base. L’ensemble C(J) est appelé commutant de J. 2. Existe-t-il une inclusion entre C(J) et D(J) = {Y ∈M3(R) | Y 2 = J} ? Trouver D(J). Exercice 3.16 (Centrale PSI 2006). Soient A et B dans Mn (C) et M =  A A A B  . 1. Déterminer le rang de M en fonction de A et B. 2. Calculer M −1 quand elle existe. Exercice 3.17. Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3n. Soit f un endomorphisme de E tel que rgf = 2n et f 3 = 0. Montrer que Kerf = Imf 2 et trouver une base B telle que la matrice de f dans B soit   0 0 0 In 0 0 0 In 0  . Exercice 3.18 (Centrale MP 2005). Montrer que les matrices triangulaires réelles qui commutent avec leur transposée sont diagonales. Exercice 3.19 (Polytechnique MP 2005). Soit A dans Mn (C). On pose, pour M dans Mn (C), ∆A(M) = AM −MA. 1. Calculer les puissances de ∆A. 2. Montrer que si A est nilpotente, alors ∆A est nilpotente. Exercice 3.20 (Mines-Ponts MP 2006). 1. Soit f une forme linéaire sur Mn (R) vérifiant : pour tout A et B dans Mn (R), f(AB) = f(BA). Montrer que f est proportionnelle à la trace. 2. Soit g un endomorphisme de l’espace vectoriel Mn (R) vérifiant : pour tout A et B dans Mn (R), g(AB) = g(BA) et g(In) = In. Montrer que g conserve la trace. Exercice 3.21 (Dual de Mn(K)). Montrer que pour tout φ dans le dual de Mn(K), il existe une matrice A telle que : ∀M ∈Mn(K), φ(M) = Tr (AM) . Exercice 3.22 (Centrale MP 2006). Trouver les A de Mn(K) telles que : ∃B ∈Mn(K)\ {0} , AB = BA = 0. Lycée Ibn Timiya-Marrakech 3 Spéciale MP* Travaux dirigés : No 03 Enoncés Révision de l’algèbre linéaire Exercice 3.23 (TPE MP 2006, CCP MP 2007). Soient A et B fixées dans Mn (R). Résoudre l’équation X + Tr (X) A = B. Exercice 3.24 (Centrale MP PSI et PC 2007). Soit n dans N∗. Etant donnée une matrice M de Mn(R), déterminer toutes les matrices X ∈Mn(R), telles que X + tX = Tr (X) M. Exercice 3.25 (Mines-Ponts MP 2007). Soient A dans M3,2(R) et B dans M2,3(R) telles que AB =   0 −1 −1 −1 0 −1 1 1 2  . 1. Montrer que AB est la matrice d’un projecteur. 2. Montrer que BA = I2. Indication de la rédaction : on pourra commencer par montrer que BA est inversible. Exercice 3.26 (Centrale PC 2005, PSI 2006, MP 2007). 1. Soit E un K−espace vectoriel et soit u ∈L(E) tel que, pour tout x ∈E \ {0E}, la famille (x, u(x)) est liée. Montrer que u est une homothétie. 2. Montrer que toute matrice de Mn(K) de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. Indication de la rédaction : on pourra raisonner par récurrence sur n. 3. Soient d1, . . . , dn dans K deux à deux distincts, et D = diag (d1, . . . , dn). Soit ϕ ∈L(Mn(K)) qui à M associe DM −MD. Déterminer le noyau et l’image de ϕ. 4. Etant donnée A ∈Mn(K), établir l’équivalence des propriétés suivantes : (a) Tr (A) = 0 (b) ∃(X, Y ) ∈(Mn(K))2 tel que XY −Y X = uploads/Litterature/ td-revision 1 .pdf

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