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UL/FDS/Dep. de Maths 2013-2014 MTH 100, TD1 Exercice 1 1. E est un ensemble, A,

UL/FDS/Dep. de Maths 2013-2014 MTH 100, TD1 Exercice 1 1. E est un ensemble, A, B ⊂E. Montrer que A ⊂B ⇒CB E ⊂CA E. 2. Les Ei sont des ensembles. Prouver que n Q i=1 Ei = ∅⇒∃i ∈{1, . . . , n} tel que Ei = ∅. 3. E est l’ensemble des applications de N dans {1, 2, 3}. On pose Ai = {f ∈E, f(0) = i}. Montrer que les Ai forment une partition de E. Exercice 2 1. Donner la liste des éléments de P(P({1, 2})). 2. Est-il vrai que P(A ∩B) = P(A) ∩P(B) ? P(A ∪B) = P(A) ∪P(B)? Exercice 3 Soit la fonction f : R → R x 7→ f(x) = 2x 1+x2 1) f est-elle une application ? 2) En discutant suivant la valeur de y, résoudre dans R l’équation f(x) = y. 3) f est -elle injective, surjective, bijective ? Exercice 4 L’application f : C \ {0} →C, z 7→z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ? Donner l’image par f du cercle trigonométrique. Donner l’image réciproque par f de iR. Exercice 5 Soient f : E →F et g : F →G deux applications. On pose h = g ◦f. Démontrer que : 1) Si f et g sont injectives (resp. surjectives) alors h l’est aussi. 2) Si h est injective alors f l’est aussi. 3) Si h est surjective alors g l’est aussi. 4) Si h est injective et f surjective alors g est injective. Exercice 6 Soit f : X →Y une application. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : 1 1. f est injective. 2. ∀A, B ⊂X, f(A ∩B) = f(A) ∩f(B). 3. ∀A, B ⊂X, A ∩B = ∅⇒f(A) ∩f(B) = ∅. Exercice 7 Soit X un ensemble. Si A ⊂X, on note χA la fonction caractéristique de A. Montrer que l’application φ : P(X) →F(X, {0, 1}), A 7→χA est bijective. 2 UL/FDS/Dep. de Maths 2013-2014 TD2 de MTH 100 1. On déﬁnit la relation binaire ⪯sur N2 par (x1, x2) ⪯(y1, y2) ⇔(x1 < y1) ou (x1 = y1 et x2 ≤y2). (a) Vériﬁer que c’est une relation d’ordre. (b) La partie B = {(2, 10p) : p ∈N} de N2 est-elle majorée ? 2. En utilisant la formule du binôme, déterminer P 0≤k≤n Ck n, P 0≤k≤n (−1)kCk n, P 0≤k≤n kCk n. 3. Soit E un ensemble à n éléments. Combien de relations binaires (resp. relations binaires symétriques) peut-on déﬁnir sur E ? 4. Soit A une partie à p éléments d’un ensemble E à n éléments. Déterminer le nombre de parties de E contenant exactement k éléments de A. 5. On considère l’ensemble E = {1 + 1 n, n ∈N∗}. Cet ensemble est-il majoré ? minoré ? A-t-il un plus petit élément ? un plus grand élément ? une borne su- périeure ? une borne inférieure ? 6. Soient x1, x2, . . . , xn des réels et soit ε > 0. (a) Montrer que ||x1| −|x2|| ≤|x1 −x2|. (b) Montrer par récurrence sur n que | n P k=1 xk| ≤ n P k=1 |xk|. (c) Montrer que si pour tout k ∈{1, 2, . . . , n −1}, |xk −xk+1| < ε, alors |x1 −xn| < (n −1)ε. 7. Soit A une partie non vide majorée de R. Montrer que si a = sup A alors il existe une suite d’éléments de A qui converge vers a. La réciproque est-elle vraie ? 8. Etudier la convergence des suites (Un), (Vn) et (Wn) déﬁnies par Un = (−1)n + 1 n, Vn = (−1)nn + 1 n , Wn = √ n2 + n + 1 −√n. 9. Soient a0 et b0 deux réels ﬁxés tels que a0 < b0. On déﬁnit les suites (an) et (bn) par an+1 = 2an + bn 3 et bn+1 = an + 2bn 3 . Montrer qu’elles sont adjacentes. Que peut-on conclure ? En calculant an+1 + bn+1, montrer que chacune d’elles converge vers a0 + b0 2 . uploads/Litterature/ td-mth-100.pdf