Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomial

Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale Livre du professeur - Mathématiques Chapitre 12 : Loi binomiale Table des matières 1 Informations sur ce chapitre 2 2 Avant de commencer 2 2.1 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Activités 5 3.1 Corrigé activité A : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Corrigé activité B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 Corrigé activité C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4 Auto-évaluation 10 5 TP/TICE 12 5.1 Corrigé du TP 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2 Corrigé du TP 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6 Travailler les automatismes 15 6.1 Exercices à l’oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 Exercices d’entraînement partie 1 20 8 Exercices d’entraînement partie 2 22 9 Exercices d’entraînement partie 3 32 10 Exercices de synthèse 34 11 Préparer le bac 42 Document sous licence libre Creative Commons Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale 2 1 Informations sur ce chapitre Ce premier chapitre de probabilités se concentre sur l’étude de la succession d’un nombre quelconque d’épreuves aléatoires indépendantes. C’est l’occasion d’introduire les épreuves et schéma de Bernoulli, ainsi que la distribution binomiale. Plusieurs exemples simples permettent de découvrir les schémas de Bernoulli, et la loi de probabilité de la distribution binomiale, avec l’utilisation d’arbres modélisant une répéti- tion d’un nombre croissant d’épreuves de Bernoulli. Naturellement, la notion d’espérance est abordée et la formule donnant la variance est conjecturée (sa démonstration étant reportée dans le chapitre suivant). Après une révision des principales notions de probabilités vues en première en introduc- tion, la première partie du chapitre permet de définir les épreuves et loi de Bernoulli. Dans un deuxième temps, les schémas de Bernoulli et la distribution binomiale sont abordés ainsi que la loi de probabilité, l’espérance et la variance de cette loi. Dans une dernière partie, des questions en rapport avec l’échantillonnage sont soulevées. Les exercices permettent tout d’abord de découvrir, de manière progressive, les trois par- ties du chapitre ; de nombreux exercices simples sont donnés, pour revenir sur le sens, et construire les automatismes. Une fois cette étape franchie, des problèmes de modélisation plus ambitieux permettent à la fois une synthèse des contenus, à la fois du chapitre, et plus généralement du programme des classes de seconde et première, ainsi que la découverte d’applications de la distribution binomiale. 2 Avant de commencer 2.1 Corrigés des exercices Corrigé exercice 1 : La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud doit valoir 1. L’ensemble des événements correspondant aux branches issues d’un même noeud doivent constituer une partition de l’univers. On obtient l’arbre suivant. Corrigé exercice 2 : P(A ∩B) se calcule de la manière suivante : P(A ∩B) = P(A) × PA(B) = 0, 18. Pour calculer P(B), on utilise la formule des probabilités totales : P(B) = P(A ∩B) + P(A ∩B) = P(A ∩B) + P(A) × PA(B) P(B) = 0, 18 + 0, 4 × 0, 1 = 0, 22. Document sous licence libre Creative Commons Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale 3 Corrigé exercice 3 : Par lecture directe sur l’arbre pondéré, PA(B) = 0, 3. D’après la définition des probabilités conditionnelles, PB(A) = P(A∩B) P(B) = 0,18 0,22 = 9 11. Corrigé exercice 4 : On a d’une part, P(A)P(B) = 0, 6 × 0, 22 = 0, 132. D’autre part, P(A ∩B) = 0, 18. Donc P(A ∩B) ̸= P(A)P(B) et A et B ne sont donc pas indépendants. Corrigé exercice 5 : Première méthode : P(A∪B) = P(A∩B)+P(A∩B)+P(A∩B) P(A∪B) = 0, 18+0, 42+0, 04 P(A∪B) = 0, 64 Seconde méthode : L’événement contraire de A ∪B est A ∩B, donc : P(A ∪B) = 1 −P(A ∩B) P(A ∪B) = 1 −0, 4 × 0, 9 (par lecture de l’arbre) P(A ∪B) = 0, 64 Une troisième méthode consiste à utiliser P(A ∪B) = P(A) + P(B) −P(A ∩B). Corrigé exercice 6 : Calcul de l’espérance de X : E(X) = P(X = −1) × (−1) + P(X = 0) × 0 + P(X = 1) × 1 + P(X = 5) × 5 E(X) = 0, 2 × (−1) + 0, 15 × 0 + 0, 5 × 1 + 0, 15 × 5 = 1, 05 Calcul de la variance de X : V (X) = P(X = −1) × (−1 −E(X))2 + . . . + P(X = 5) × (5 −E(X))2 V (X) = 0, 2 × (−1 −1, 05)2 + 0, 15 × (0 −1, 05)2 + 0, 5 × (1 −1, 05)2 + 0, 15 × (5 −1, 05)2 V (X) = 3, 3475 Corrigé exercice 7 : 1. C0 = 5 0  = 1 C1 = 5 1  = 5 C4 = 5 4  = 5 5−4  = 5 C5 = 5 5  = 5 5−5  = 1 2. C2 = C3 = 10 Corrigé exercice 8 : Voici un exemple de script possible. Document sous licence libre Creative Commons Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale 4 Corrigé exercice 9 : 1. Cette situation peut être représentée par l’arbre suivant. On obtient alors la loi de probabilité suivante. xi 0 1 2 P(X = xi) 0,36 0,48 0,16 La formule de l’espérance donne E(X) = 0, 36 × 0 + 0, 48 × 1 + 0, 16 × 2 = 0, 8. 2. Cette situation peut être représentée par l’arbre suivant. On obtient alors la loi de probabilité suivante. yi 0 1 2 P(Y = yi) 0,3 0,6 0,1 La formule de l’espérance donne E(Y ) = 0, 3 × 0 + 0, 6 × 1 + 0, 1 × 2 = 0, 8. Document sous licence libre Creative Commons Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale 5 3 Activités 3.1 Corrigé activité A : Questions : Partie A 1. Les lancers sont identiques et indépendants, la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois, sans effet sur les suivantes. 2. Étant donné que n = 3, on obtient l’arbre pondéré suivant. 3. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3. 4. Un seul chemin permet d’obtenir X = 0.Par lecture de l’arbre on obtient P(X = 0) = 5 6 3 = 125 216 ≈0, 579. 5. a. Trois chemins permettent d’obtenir une unique apparition de la face 6. b. Pour chacun de ces chemins, on passe une fois par la probabilité 1 6 et deux fois par la probabilité 5 6. c. La probabilité pour chaque chemin est donc de 1 6 × 5 6 2 ≈0, 116. On en déduit que P(X = 1) = 3 × 1 6 × 5 6 2 = 75 216 ≈0, 347. 6. La loi de probabilité suivie par X est résumée dans le tableau ci-dessous. xi 0 1 2 3 P(X = xi) 125 216 75 216 = 25 72 15 216 = 5 72 1 216 Partie B 1. Les lancers sont identiques et indépendants, pour les mêmes raisons que ci-dessus. On obtient cette fois l’arbre pondéré suivant. Document sous licence libre Creative Commons Livre du professeur - Mathématiques Tle Spécialité - Chapitre 12 : Loi binomiale 6 X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 et 4. Un seul chemin permet d’obtenir X = 0. On a donc P(X = 0) = 5 6 4 = 625 1296. Quatre chemins permettent d’obtenir une unique uploads/Litterature/ livre-du-professeur-chapitre-12-loi-binomiale.pdf

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