Lycée Lakanal, MP Étude locale des suites et des fonctions 2021-2022 Exercice 1

Lycée Lakanal, MP Étude locale des suites et des fonctions 2021-2022 Exercice 1 Classer par ordre de prépondérance décroissante au voisinage de +∞les « fonctions » suivantes : x, x2, x3/2, x2/3, x ln2 x, x ln x, x ln2 x, x2 ln x. Exercice 2 Soit f, g deux fonctions réelles définies au voisinage d’un point a. On suppose que f − → a +∞, que g > 0 et que f = o(g) au voisinage de a. Montrer que ef = o (eg) au voisinage de a. Que se passe-t-il si l’on oublie l’une des deux premières hypothèses ? Exercice 3 Justifier l’existence et donner la valeur de la limite • de ln sin x −ln x 1 −cos x quand x tend vers 0+ ; • de e √ 1+x2 sin3 x −e shx −x 6 √ 1 + x2 quand x tend vers 0 ; • de 2x + 3x 2 1/x quand x tend vers 0, et plus généralement de ax 1 + · · · + ax p p 1/x quand x tend vers 0 (a1, . . . , ap > 0 donnés) ; • de (sin x)tan2 x quand x tend vers 0, puis π 2 ; • de ln x ln(x + 1) ln x x −1  quand x tend vers +∞; • de (x + 1)1+ 1 x−1 −x1+ 1 x quand x tend vers +∞. Exercice 4 1. Soit x ∈R ; quelle est la limite de  1 + x n n quand n tend vers +∞? 2. Donner un équivalent simple de e −  1 + 1 n n quand n tend vers +∞. 3. Quelle est la limite de xn =  e −  1 + 1 n n√ n2+2− √ n2+1 quand n tend vers +∞? 4. Soit x ∈C ; étudier la limite de  1 + x n n quand n tend vers +∞? On pourra écrire x = a + ib, avec a et b réels. Exercice 5 Trouver a, b, c ∈R tels que f(x) = tan x −ax + cx3 1 + cx2 soit un in- finiment petit d’ordre le plus élevé possible au voisinage de 0. Donner alors un équivalent de f(x) au voisinage de 0. Exercice 6 Trouver a, b ∈R tel que un = sin  1 + 1 n n −a −b n soit négligeable devant 1 n2 . Exercice 7 Soit a ∈R∗ +. Trouver un développement asymptotique de un = ln (√n + (−1)n) −ln √n + a avec o  1 n2  comme reste. Exercice 8 Donner un équivalent simple de Arccos x quand x tend vers 1−. On pourra se souvenir que, au voisinage de 0, t ∼sin t. En déduire la limite quand n tend vers +∞de un = n Arccos v u u t 1 n tan 1 n . Exercice 9 Donner un équivalent simple de un = Arccos 1 √n −Arccos 1 √n + 1 et vn = eArctan n−1 n+1 −e π 4 quand n tend vers +∞. Exercice 10 Donner un développement limité 1. d’ordre 4 de r x tan x en 0 ; 2. d’ordre 3 de ln(1 + ch x) au voisinage de 0 ; 3. d’ordre 2 de f : x 7− → q 1 + p 1 + √1 + x au voisinage de 0. En déduire l’allure du graphe de cette fonction au voisinage de 0 ; 4. d’ordre 8 de la fonction sin5 au voisinage de 0 ; 5. d’ordre 3 de f : x 7− → x sin x ln(1 + x2) au voisinage de 0 ; 6. d’ordre 3 de g : x 7− →Arctan(ex) au voisinage de 0 ; 7. d’ordre 5 de h(x) = Z x2 x 1 4 √ 1 + t2 dt au voisinage de 0. Exercice 11 Étudier l’allure au voisinage de +∞de la courbe représentative de la fonction φ : x 7− → √ 1 + x2 x Arctan 1 x : asymptote, position par rapport à l’asymptote. Exercice 12 Étudier la branche infinie de f : x 7− →x √ 1 + x4 1 + 2x2 : existence d’une asymptote, position par rapport à cette asymptote. Exercice 13 Donner un développement asymptotique avec trois termes de la fonction x 7− → √ x2 + x au voisinage de +∞. Exercice 14 1. Donner le développement limité d’ordre n de f(x) = ln(1 + 2x + 2x2) au voisinage de 0. 2. Donner le développement limité d’ordre n quelconque de f(x) = ln(1+x+x2) au voisinage de 0. Exercice 15 Soit fn(x) = exp  −  x + x2 2 + · · · + xn n  . 1. Trouver le développement limité d’ordre n de fn en 0. 2. Trouver le développement limité d’ordre 2n de fn en 0. On pourra utiliser une équation différentielle. Exercice 16 Soit (un)n∈N une suite vérifiant, pour tout n ∈N, un+1 = 1 n + 1e−un. Montrer que la suite (un)n∈N converge et donner sa limite, puis donner un équivalent simple de un, enfin donner un développement limité d’ordre 2 de un. Exercice 17 Soit (an) une suite de réels dans ] −1, +∞[. 1. Montrer que la convergence vers 0 de la suite (an −ln(1+an)) entraîne celle de (an) vers 0. 2. Montrer que la convergence de  an √n  vers 0 équivaut à l’équivalence locale ean ∼ 1 + an n n Suites et fonctions implicites Exercice 18 1. Montrer que, pour tout n ∈N, il existe un unique xn ∈R tel que x3 n + 3xn = n. On veut étudier le comportement asymptotique de (xn)n∈N. 2. Montrer que (xn) tend vers +∞, puis que xn ∼n1/3 quand n tend vers l’infini. On pose yn = xn −n1/3. Que dire de yn à ce stade ? 3. Trouver un équivalent de yn. On pourra écrire l’équation vérifiée par yn puis comparer asymptotiquement y3 n, y2 nn1/3 et ynn2/3. Quel développement asymptotique de xn obtient-on ? 4. (Pour les héros) En reprenant la même méthode, trouver un équivalent de zn = yn−n−1/3. Quel développement asymptotique peut-on en déduire pour xn ? 5. Indépendamment, vérifier que xn = 3 s n 2 + r 1 + n2 4 + 3 s n 2 − r 1 + n2 4 et retrouver le développement asymptotique de la question précédente. Exercice 19 1. Montrer qu’on peut définir deux fonctions x 7− →y(x) continues sur [1, +∞[ telles que ∀x ⩾1, y(x) −ln y(x) = x. Pour chacune, donner le tableau de variation et le graphe. 2. Étudier ces deux fonctions au voisinage de +∞: équivalent, terme correctif, voire développement asymptotique avec trois termes significatifs. Exercice 20 On considère l’équation ex −xn = 0. 1. Montrer que, pour n assez grand, l’équation admet exactement deux solu- tions positives telles que 0 ⩽un ⩽vn. 2. Montrer que la suite (un) converge vers une limite ℓ. Déterminer un équi- valent de ℓ−un. 3. La suite (vn) converge-t-elle ? Déterminer un équivalent, puis un développe- ment asymptotique de vn. Exercice 21 1. Montrer que, pour tout n ∈N, avec n ⩾2, l’équation xn = x + n possède une solution positive unique (que l’on notera an dans la suite). Montrer que la suite (an) est à valeurs dans [1, 2]. 2. Montrer que la suite (an) converge. Trouver sa limite ℓ. On pourra écrire l’équation sous la forme x = (x + n)1/n. 3. Trouver un équivalent de ℓ−an. Quel développement asymptotique de an en déduit-on ? 4. Par la même méthode, trouver un développement asymptotique avec un terme de plus. Exercice 22 Soit f : x 7− →x sin(x)e−x sur R. On s’intéresse aux zéros de f ′. 1. Montrer que, pour tout k ∈Z, l’équation f ′(x) = 0 admet une solution unique (que l’on notera par la suite ak) dans l’intervalle ]kπ, (k + 1)π[. On pourra étudier la fonction g : x 7− →1 x + 1 tan x −1. Montrer que, pour tout k, ak est dans ]kπ, kπ + π 2 [. Dans la suite, on étudie le comportement asymptotique de (ak) quand k tend vers +∞. 2. Donner un équivalent simple de ak quand k tend vers +∞. 3. On pose bk = ak −kπ. Montrer que la suite (bk) est monotone et qu’elle converge vers π 4 . On pourra étudier (tan bk). 4. Donner un développement limité d’ordre 1 de tan en π 4 . En déduire un équi- valent de ck = bk −π 4 . uploads/Litterature/ locale.pdf

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