COURS D'ALGÉBRE II SMA-SMI par : Bouher Rashid 2014-2015 nouveau système * Pour

COURS D'ALGÉBRE II SMA-SMI par : Bouher Rashid 2014-2015 nouveau système * Pour tout explication et remarques merci de me contacter sur : rashidbouher1@gmail.com Table des matières I Cours et exercices corrigés 2 1 Structures usuelles 3 1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Exemple de groupes : Groupe symétrique et Groupe produit . . . . . 5 1.1.2 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Groupe produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Sous anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Homomorphismes d'anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 les corps R et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Polynômes 26 2.1 Généralités et Notions de base sur les polynômes à une inéterminée : Dé nitions et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Degré d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Propriétés arithmétiques des polynômes à coe cients dans R ou C . . . . . . 32 2.8 Théorème d'Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.9 exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Fractions rationnelles 39 3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Décomposition en éléments simples dans R[X] et dans C[X] . . . . . . . . . 42 3.3 exos corrigées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II méthodologie (méthodes et astuces à retenir ) 50 1 Première partie Cours et exercices corrigés 2 Chapitre 1 Structures usuelles 1.1 Groupes 1. Loi de composition interne  Dé nition 1 : On appelle loi de composition interne (lci) sur E toute application ∗ de E × E dans E ∗ : E × E →E (x, y) 7→∗(x, y) qui est souvent notée par l'un des symboles suivants : +, ∗, × , ♦, ⊤, ⋆, ⊥, . . .  Remarque : au lieu de ∗(x, y) = z on notera x ∗y = z  Exemples : • + et × sont des lois dans R • ∩et ∪sont des lois dans P(E) • en revanche ÷ n'est pas une lois sur R car elle n'est dé nie sur R × {0} ainsi ÷ sera une lois sur R∗ 2. Associativité, commutativité  Dé nition 2 : soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne ∗ainsi le couple (E, ∗) est dit magma •On dit que ∗est associative si et seulment si ∀x, y, z ∈E , x ∗(y ∗z) = (x ∗y) ∗z dans ce cas le parenthésage n'a pas d'importance • on dit que ∗est commutative si et seulement si ∀x, y ∈E x ∗y = y ∗x  Exemples : • + est associative et commutative dans N • ÷ n'est ni associative ni commutative dans R∗il claire que 1 ÷ 2 ̸= 2 ÷ 1 et que 1 ÷ (2 ÷ 3) ̸= (1 ÷ 2) ÷ 3 • ∩ et ∪sont associatives et commutatives dans P(E) 3. Élément neutre, inverse  Dé nition 3 : Soit (E, ∗) un magma. On appelle élément neutre (ou simplement neutre) de(E, ∗) tout élément e ∈E véri ant ∀x ∈E, x ∗e = e ∗x = x 3 Cours d'Algébre II BOUHER RASHID  Exemples • 1 est l'élément neutre de × dans R • 0 est l'élément neutre de + dans N • E est l'élément neutre de ∩dans P(E)  Proposition 1 : l'élément neutre lorsqu'il existe est unique . Preuve : Exercice 1  Dé nition 4 : Soit (E, ∗) un magma admettant un élément neutre e et soit x ∈E on appelle inverse de x tout élément y ∈E tel que x ∗y = y ∗x = e , un élément admettant un inverse est dit inversible .  Exemples : • dans tout magma muni d'un neutre, le neutre est son propre inverse. • dans(Z, +) tout élément x est inversible et admet pour inverse −x. • dans (R, ×) , tout élément x diérent de 0 est inversible et a pour inverse • dans (Z, ×) , seul 1 et −1 sont inversibles, et ont pour inverse eux-mêmes  Proposition 2 : soit (E, ∗) un magma dont ∗est associative , alors il y a l'unicité de l'inverse dans ce magma Preuve : Exercice 2  Remarques : • pour montrer qu'un élément est inversible ou pour véri er que e est l'élément neutre pour une loi non commutative , il faut montrer deux égalités • l'inverse d'un élément x, sera toujours noté : x−1 si la loi est multiplicative et −x si la loi est additive on dit aussi −x est le symétrie de x . 4. Groupe  Dé nition 5 : Un groupe G est un ensemble non vide muni d'une loi de composition ∗tel que :  ∗est associative .  ∗admet un élément neutre dans G , souvent noté e .  tout élément de G est inversible . le geoupe G uploads/Litterature/ cours-et-exercices-de-mathematique-nouveau-systeme-pdf.pdf

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