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Probabilités et Statistiques Version 2.1 Mai 2003 Jean-Louis POSS 2 Table des m

Probabilités et Statistiques Version 2.1 Mai 2003 Jean-Louis POSS 2 Table des matières 1 Notion de probabilité 7 1.1 Événements. Espace probabilisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Formule de BAYES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Variables aléatoires discrètes 13 2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Couple aléatoire. Variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Loi d’un couple aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Espérance mathématique. Variance. Coefﬁcient de corrélation . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Variable aléatoire à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Inégalité de BIENAYMÉ-TCHEBYCHEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7 Lois de probabilité discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7.2 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7.3 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.7.4 Loi géométrique (ou loi de PASCAL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.5 Loi de POISSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Variables aléatoires absolument continues 33 3.1 Variable et vecteur aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Fonction de répartition. Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Variable aléatoire à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Espérance, variance, coefﬁcient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Détermination de la densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 Lois de probabilités continues classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 4 3.6.3 Loi normale (ou loi de LAPLACE-GAUSS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6.4 Loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.5 Loi bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6.6 Loi du khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6.7 Loi de STUDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6.8 Loi de FISHER-SNEDECOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Convergences stochastiques 65 4.1 Différents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Théorème central limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Application : approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.1 Approximation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.2 Approximation de POISSON . . uploads/Litterature/ mathematiques-cours-fr-probabilites-et-statistiques.pdf