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Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre 14 : Loi des grands nombre I Variables alé

Lycée Paul Rey Denis Augier Chapitre 14 : Loi des grands nombre I Variables aléatoires discrètes. A Exemple. Exemple 1. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé à 6 faces. L’univers des possibles Ω“ t1; 2; 3; 4; 5; 6u. Maintenant, on considère que la personne qui lance le dé reçoit : • 50 e, s’il obtient le nombre 6 lors du lancé . • 20 e, s’il obtient les nombre 4 ou 5 lors du lancé. • il donne 30 e sinon. Si l’on note la fonction X qui au résultat du lancer donne la somme obtenu par le joueur. Exemple 2. Si l’on considère l’expérience qui consiste à lancer une pièce. Ensuite au aﬀecte 1 lorsque l’on obtient "face" et 0 si l’on obtient "pile". On déﬁnie ainsi une variable aléatoire Y tel que : Y : Ω“ tPile , Faceu Ñ Y pΩq “ t0, 1u La loi de probabilité, si la pièce est équilibrée, est donné par : B Déﬁnition. Si pour une expérience aléatoire, on note Ωl’ensemble des issues possibles. On appelle variable aléatoire réelle toute application à valeurs réelles de Ω. (C’est-à-dire XpΩq Ă R). X : ΩÑ XpΩq Ă R ω ÞÑ Xpωq Si XpΩq “ pxiqiPD avec D Ă N (avec xi P R), on parlera de variable aléatoire réelle discrète. Cette année on rencontrera essentiellement le cas où D “ J1, nK avec n P N˚. La donnée des valeurs de PpX “ xiq sera appelée la loi de probabilité de la variable X. Déﬁnition 1 La somme des probabilités vaut 1 : ÿ iPD PpX “ xiq “ 1 Proposition 1 Déterminer une loi de probabilité 1 et Vidéo 2 Vidéo 1 Ex 1 à 21 page 324 à 326 : faire en priorité les exercices verts. 1 Spécialité 2019-2020 1 Lycée Paul Rey Denis Augier C Espérance et variance. Avec les notations de la déﬁnition précédente, l’espérance si elle existe est déﬁnie par : EpXq “ ÿ iPD xiPpX “ xiq La variance, si elle existe est déﬁnie par : V pXq “ E ” pX ´ EpXqq2ı Et enﬁn l’écart type (si la variance existe) est dé- ﬁnie par : σpXq “ a V pXq Déﬁnition 2 D Propriétés de l’espérance, de la variance et de l’écart type. Avec les notations de la déﬁnition précédente. Soient a et b deux réels. On a : EpaX `bq “ aEpXq`b Proposition 2 On peut aussi calculer la variance par la formule : V pXq “ E ` X2˘ ´ EpXq2 “ ˜ÿ iPD x2 i PpX “ xiq ¸ ´ EpXq2 Proposition 3 Si a et b sont deux réels on obtient : V paX ` bq “ a2V pXq Et donc : σpaX ` bq “ |a|σpXq Proposition 4 II Somme de variables aléatoires. Lorsque X et Y sont deux variables aléatoires, X `Y est la variable aléatoire qui prend pour valeurs les sommes des valeurs possibles de X et Y . Déﬁnition 3 Exemple 3. On lance un dé à 6 faces et 1 à 4 faces. On note X la valeur obtenue par le premier dé et Y par le second. Loi de probabilité, espérance et variance ? 1 Spécialité 2019-2020 2 Lycée Paul Rey Denis Augier Soient X et Y deux variables aléatoires : EpX ` Y q “ EpXq ` EpY q (plus généralement E ˜ N ÿ n“1 λnXn ¸ “ N ÿ n“1 E pλnXnq. Si de plus les deux variables sont indépendantes : V pX ` Y q “ V pXq ` V pY q Proposition 5 Remarque 1. Attention si les deux variables sont indépendantes : V pX ´ Y q “ V pXq ` V pY q III Inégalités de concentration A Inégalité de Markov Soit X une variable aléatoire à valeurs positives et soit a Ps0, `8r : PpX ě aq ď EpXq a Proposition 6 B Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Soit X une variable aléatoire à valeurs positives et soit a Ps0, `8r : Pp|X ´ EpXq| ě aq ď V pXq a2 Proposition 7 IV Loi des grands nombres A Pour la loi binomiale Si pXiqt1,nu n suivant un même loi de Bernoulli de paramètre p. Alors Sn “ n ÿ i“1 Xi détermine le nombre de succés parmi les n épreuve de Bernoulli associées aux pXiqt1,nu, suit une loi binomiale de paramètre n, p. Proposition 8 1 Spécialité 2019-2020 3 Lycée Paul Rey Denis Augier Si pXiqt1,nu n suivant un même loi de Bernoulli de paramètre p. Alors Mn “ Sn n “ n ÿ i“1 Xi n s’appelle la fréquence empirique associée aux pXiqt1,nu Si a Ps0, `8r, alors : P ´ Sn ´ np ě a ¯ ě npp1 ´ pq a2 et P ´ Mn ´ p ě a ¯ ě pp1 ´ pq na2 Déﬁnition-Proposition 9 B cas général Si pXiqt1,nu, n variables aléatoires identiques et indépendantes. On note Mn “ Sn n “ n ÿ i“1 Xi n la moyenne empirique associée aux pXiqt1,nu Si a Ps0, `8r, alors : P ´ Mn ´ EpX1q ě a ¯ ě V pX1q na2 Donc cette probabilité tend vers 0. On dit que Mn qu’elle tend en probabilité vers EpX1q lorsque n tend vers `8 Déﬁnition-Proposition 10 1 Spécialité 2019-2020 4 uploads/Litterature/ chap-14-loi-des-grds-nb.pdf