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Chapitre 1 5 Déterminants - Sommaire Déterminant d ? un produit Déterminant de n vecteurs dans une base B Forme n-linéaire alternée sur E Déterminant dans une base B Déterminant de matrices semblables Déterminant d ? une matrice carrée A Déterminant de la

Déterminants - Sommaire Déterminant d ? un produit Déterminant de n vecteurs dans une base B Forme n-linéaire alternée sur E Déterminant dans une base B Déterminant de matrices semblables Déterminant d ? une matrice carrée A Déterminant de la transposée Propriétés élémentaires Calcul de déterminants Déterminant dans une base B En dimension et Caractérisation des bases Dét d ? une matrice triangulaire Déterminant d ? un endomorphisme Déterminant dans une base B Déterminant d ? un endomorphisme Caractérisation des automorphismes Dév selon une ligne ou colonne Opérations sur les lignes et colonnes Dét d ? une mat triangulaire par blocs Exemples Déterminant de la composée Compléments Déterminant d ? une matrice carrée Produit de matrices dé ?nies par blocs Déterminant d ? une matrice carrée A Avec Maple dans une base Les mathématiciens du chapitre Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel sur K R ou C et B e e en est une base Déterminant de n vecteurs dans une base B Forme n-linéaire alternée sur E Dé ?nition E un espace vectoriel de dimension n sur K f On dit que f est n-linéaire alternée En ? K u u un ?? ? f u u un ?? f u u ? ui ui un ? f u u ui un f u u ui un f u u ui uj un ?? f u u uj ui un pour tous les vecteurs u un tous les scalaires ? et pour i j C ? est à dire qu ? elle est linéaire par rapport à chacune des variables et que l ? échange de variables la transforme en son opposé Ainsi quand on a fois le même vecteur la forme est égale à son opposée et donc nulle Déterminant de n vecteurs dans une base B Théorème Si f est n-linéaire alternée et si f e e en alors f est complètement dé ?nie Démonstration Il suf ?t en e ?et de développer par n-linéarité et d ? utiliser le caractère alterné pour remettre les vecteurs dans le bon ordre Le résultat s ? exprime donc en fonction de f e e en car les autres termes sont nuls Le coef ?cient ne dépend que des règles de calcul et non pas de f On a donc le résultat dès qu ? on ?xe la valeur de f e e en Dé ?nition Le déterminant de u u un dans B est f u u un o? f est la forme n-linéaire alternée véri ?ant f e e en On le note det u u un B Cours de Spé T S I c Christophe Caignaert ?? Lycée Colbert ?? Tourcoing ?? http c caignaert free fr C - Déterminants Propriétés élémentaires Théorème Echanger vecteurs multiplie le déterminant par ?? Théorème Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant celui-ci est nul Théorème Si un vecteur est combinaison linéaire des autres vecteurs le déterminant est nul Démonstration En développant par linéarité