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Devoir 2 math 202 1 Espaces hermitiens L alg ebre et g ?eom ?etrie Exercice Pour x x x x ?? C on d ?e ?nit q x x x x ix x ?? ix x ix x ?? ix x V ?eri ?er qu ? il existe une forme hermitienne f sur C telle que q x f x x et ?ecrire la matrice

Espaces hermitiens L alg ebre et g ?eom ?etrie Exercice Pour x x x x ?? C on d ?e ?nit q x x x x ix x ?? ix x ix x ?? ix x V ?eri ?er qu ? il existe une forme hermitienne f sur C telle que q x f x x et ?ecrire la matrice de f dans la base canonique Montrer que f est un produit scalaire hermitien On pourra d ?ecomposer q en carr ?es de modules en s ? inspirant de l ? algorithme de Gauss Construire une base orthogonale de C pour ce produit scalaire hermitien Exercice Soit E un espace vectoriel complexe D ?eterminer le rang et la signature des formes quadratiques hermitiennes sur E suivantes E C et q x y z xx ?? ixy iyx ?? xz ?? zx yy ?? iyz izy zz E C et q x y z xy yx ixz ?? izx i yz ?? i zy E Mn C et q A tr AA Exercice Dans C muni de sa structure hermitienne standard on note F le plan d ? ?equation x ?? x ix D ?eterminer l ? orthogonal F ? Expliciter la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique Trouver une base orthogonale de F Exercice Soit E un espace hermitien et f ?? L E tel que pour tout x ?? E l ? on ait f x x Montrer que f est nul Que penser de l ? ?enonc ?e analogue sur un espace euclidien Exercice Est-ce que l ? ensemble des matrices hermitiennes forme un sous-C- espace vectoriel de Mn C Montrer qu ? elles forment un sous-espace vectoriel r ?eel et calculer la dimension sur R de ce sous-espace Exercice Soit F EE F F i ??i F F F FB A ??i i Trouver une matrice unitaire U et une matrice diagonale D telle que D U ?? AU M eme question avec F EE F F B F F F FB i ?? ??i ?? C Exercice Soit A ?? Mn C On pose U Re A V Im A et C U V C ?? M n R ??V U on a donc Montrer que A est hermitienne d ?e ?nie positive ssi C est sym ?etrique d ?e ?nie positive Montrer que A est unitaire ssi C est orthogonale Exercice Soit U une matrice unitaire de taille et de d ?eterminant Montrer qu ? il existe des nombres complexes et ? avec ? tels que U ? ?? ? Exercice Soit H ?? Mn C une matrice hermitienne positive Pour tout k n on note Hk la matrice tronqu ?ee ? constitu ?ee des k premieres lignes et k premieres colonnes Montrer que pour tout k n la matrice Hk est encore hermitienne positive et que detHk Exercice Soit H ?? Mn C une matrice hermitienne positive Montrer qu ? il existe une unique matrice hermitienne positive R telle