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Chapitre 2 3 I CII Théorie de Lax-Milgram Théorème de Lax-Milgram Cadre abstrait Il s ? agit d ? un résultat abstrait relatif aux espaces de Hilbert Nous le présentons dans cette partie car dans ce cours nous l ? utiliserons seulement quand l ? espace de

I CII Théorie de Lax-Milgram Théorème de Lax-Milgram Cadre abstrait Il s ? agit d ? un résultat abstrait relatif aux espaces de Hilbert Nous le présentons dans cette partie car dans ce cours nous l ? utiliserons seulement quand l ? espace de Hilbert est un espace de Sobolev H ou l ? un de ses sous-espaces Soit E un espace de Hilbert notons h iE le produit scalaire sur E et k kE la norme associée Dé ? nition Une forme linéaire L E R sur l ? espace de Hilbert E muni de la norme k kE est dite bornée sur E s ? il existe une constante c telle que jL w j c kwkE w E Remarque Si L est bornée sur E alors L est continue sur E Dé ? nition L ? ensemble de toutes les formes linéaires continues sur un espace de Hilbert E est appelé espace dual de E et est noté E Dé ? nition a E E R une forme bilinéaire tel que E est un espace de Hilbert a est dite bornée sur E E s ? il existe une constante M telle que ja w u j M kwkE kukE w u E Remarque Si a est bornée sur E E alors a est continue sur E E Dé ? nition Une forme bilinéaire a est dite symétrique si a w u a u w w u E Dé ? nition Une forme bilinéaire a est dite coercive s ? il existe une constante telle que a w w kwk E w E CThéorème Représentation de Riesz Soit E un espace de Hilbert réel et soit E son dual Pour toute forme linéaire continue L E il existe un unique élément v E tel que L w hv wiE w E De plus on a kLkE kvkE Théorème Lax-Milgram Soit E un espace de Hilbert réel L une forme linéaire continue sur E a une forme bilinéaire continue et coercive sur E E Alors la formulation variationnelle Trouver u E tel que F V a u w L w w E admet une unique solution De plus cette solution dépend continûment de la forme linéaire L Démonstration D ? aprés le théorème de Riesz il existe un unique élément v E tel que L w hv wiE w E et kLkE kvkE Considérons maintenant l ? application w a u w qui est une forme linéaire continue sur E par conséquent il existe un élément unique de E noté Au E tel que a u w hAu wiE w E Riesz Cu Au est linéaire en e et on a R u v E A u v véri ? e hA u v wiE a u v w w E a u w a v w hAu wiE hAv wiE h Au Av wiE d ? o? A u v Au Av a est continue ce qui implique M tel que hAu AuiE kAukE a u Au