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Collège Regina Assumpta Mathématique SN5 Chapitre quatrième - Trigonométrie Nom

Collège Regina Assumpta Mathématique SN5 Chapitre quatrième - Trigonométrie Nom: __________________________________ Groupe: 5______ Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 1 RAPPEL : DÉFINITIONS DES RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES DE BASE Des figures semblables sont des figures dont les mesures des côtés homologues sont et dont les angles homologues ont la même . Ici, ABC  ~ ADE  ~ AFG  par le cas de similitude : Soit : BC m a = , AC m b = et AB m c = et 2 = BC m DE m et  = AC m AG m Par DÉFINITION : ( ) = A sin On voit que pour un angle donné, les rapports trigonométriques sont constants et ce, peu importe les dimensions du triangle! Une nouvelle définition du rapport tangente : Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 2 LES RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES Soit un triangle rectangle en B. Rappel : Les angles aux sommets A et C sont dits car la somme de leur mesure est de 90o Les trois rapports trigonométriques de base sont : sin(C) = cos(C) = tan(C) = Les trois rapports inverses sont : cosec(C) = ) sin( 1 C = sec(C) = ) cos( 1 C = cotan(C)= ) tan( 1 C = Notation équivalente: Notation équivalente: ATTENTION À LA NOTATION ET À L’EXPOSANT -1 !!! Rapport inverse Touche de calculatrice sin -1 Si ( ) ( ) ( ) C C C cos sin tan = alors ( ) C cot = Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 3 LES TRIANGLES RECTANGLES PARTICULIERS a) Le triangle isocèle (a = b) b) Ayant un angle de 30o Rapports trigonométriques à connaître PAR COEUR : 1. sin(45°) = cos( ) =  2. sin(30°) = cos( ) = 3. sin(60°) = cos( ) =  EN TOUTES CIRCONSTANCES, LE SINUS D’UN ANGLE EST ÉGAL AU COSINUS DE L’ANGLE QUI LUI EST COMPLÉMENTAIRE (et vice versa bien sûr!) Exemples : sin (70°) = cos( ) cos (x°) = sin ( ) Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 4 Exercice : Faire vos calculs à la page suivante… Soit A et B, deux angles complémentaires. SANS CALCULATRICE : a) Si sin (A) = 4 3 , alors cos (A) = b) Si sin (A) = 5 3 , alors sec (90o - A) = c) Si cos (A) = 2 3 , alors tan (B) = d) Si cos (A) = 2 3 , alors cosec (B) = e) Si sin (A) = 2 2 , alors cot (B) = f) Si csc (A) = 2, alors  m A = VRAI OU FAUX ? SANS CALCULATRICE a) cos (45°) = 3 6 sin(60°) ________________ b) cos -1 (0.5) = 2cos -1         2 3 ________________ c) tan (45°) = 2 2 ________________ d) ( ) ( ) ( )  −   −  =     90 sin 90 cos tan ________________ e) ( ) ( )  −  =    90 cot tan ________________ Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 5 Calculs… Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 6 LE RADIAN Définition : Mesure de l’angle au centre formé par deux rayons interceptant un arc dont la mesure est égale au du cercle. On a : 1 tour 360 1 tour Exemples :  180 rad  90 rad rad 4   _______  72 rad Attention! rad r   2 2  Car : r  2 représente la (mesure métrique) rad  2 représente une mesure d’ Proportion ultime de la vie : Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 7 Exercice Un cercle a 5cm de rayon. Quelle est la mesure en radians de l’angle au centre qui intercepte un arc de : a) 20cm? c) 5 cm? b) 1cm? d)  10 cm? L’ouverture d’un angle au centre d’un radian n’est pas affectée par le rayon du cercle. Autrement dit, un angle de 1 radian est constant d’un cercle à l’autre et ne dépend pas de la mesure du rayon. Exercice 1: Quelle est la mesure, en valeur exacte (et arrondie au centième près), de l’arc MN d’un cercle si les mesures du rayon et de l’angle au centre sont : a) 8 cm et 3 rad b) 4 dm et 63o Mesure de l’angle (en radians) = Note : Nous utiliserons très souvent la lettre grecque Thêta (θ) pour décrire un angle en radians. Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 8 Exercice 2: Quel est le rayon d’un cercle dont la mesure de l’angle au centre et la longueur de l’arc sont : En valeur exacte (et arrondie au centième près a) 30o et 1m b) 5 6 rad et 0,7 cm Exercice 3: Complète les égalités suivantes: rad = º 3 rad= º 4  rad = º 6  rad = º 2  rad = º 6 7  rad = º 6 11  rad = º 5 rad = º 4 5 rad = º 90 º = rad 180 º rad 122 º = rad La calculatrice… Tous les calculs arithmétiques à l’exception des rapports trigonométriques peuvent être effectués en degrés ou radians sans que ça n’affecte le résultat. Vérifions la valeur de : a) rad 49 b) ( ) rad 1000 log Calculons : ( ) _____ sin = 1 ( ) _____ 1 sin =  Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 9 LES ANGLES TRIGONOMÉTRIQUES La notion d’angle en trigonométrie ne fera non plus référence à deux demi-droites ayant une origine commune (sens géométrique habituel), mais plutôt à un mouvement de rotation. Le radian sera très précieux lorsque viendra le moment de déterminer une longueur de rotation (longueur d’arc) selon l’angle de rotation. Angles orientés Deux angles trigonométriques sont co-terminaux s’ils ont le même côté terminal et ce, peu importe le sens de rotation. Exercice : Les paires d’angles suivants représentent-elles des angles co-terminaux? a) 115o et 475o b) -200o et 160o c) -300o et -60o d) 2  − et 2  e) 4 5 et 4 3 f) 3 2  et 3 10  Condition de «co-terminalité» : Exercice : Positionner les points suivants sur le cercle : a) P3(90o) b) P4() c) P5(2) d) P6       − 4 3 e) P7      − 6 7  f) P8      − 2 5 Conché! Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 10 Le cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est LE cercle centré à l’origine du plan cartésien et dont la mesure du rayon est de 1 unité. Tout point SUR le cercle trigonométrique est appelé point trigonométrique. L’équation de ce cercle particulier est : LES COORDONNÉES D’UN POINT SUR UN CERCLE SELON L’ANGLE DE ROTATION Pour quelle rotation un point trigonométrique P admet-il les coordonnées       13 12 , 13 5 ? Sur le cercle trigonométrique Toute coordonnée d’un point trigonométrique donnée en fonction de θ est : P (_____ _, ____ ___) Sur un cercle quelconque Toute coordonnée d’un point sur un cercle de rayon r (centré à l’origine) peut être écrite : Q ( , ) Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 11 Exercice 1: Déterminer si les points suivants sont situés sur le cercle trigonométrique. a) A       − 2 2 , 2 2 : b) B( ) 4 3 , 3 4 : Exercice 2 : Détermine les 2 positions possibles (en valeurs exactes) d’un point trigonométrique P(θ) sachant que ( ) 4 1 cos =  : Série d’exercices sur les angles et longueurs d’arc Exercice 1 : Les angles P et Q sont co-terminaux. Si la mesure de l’angle P est de 100º, déterminer la mesure de l’angle Q pour : a) -360º < Q m  < 0º b) 360º < Q m  < 720º Exercice 2: Les angles P et S sont co-terminaux. Si la mesure de l’angle P est de 120º, déterminer la mesure de l’angle S pour : a) -2 rad < S m  < 0 rad b) 4 rad < S m  < 6 rad Collège Regina Assumpta Trigonométrie Mathématiques SN5 Trigonométrie 12 Faites vos calculs à la page suivante… Exercice 3 : Quelle est la longueur exacte d’un arc compris entre deux rayons formant un angle de   rad si le rayon du cercle vaut 15cm? Exercice 4 : On place une pièce de 10¢ sur un disque à 12cm du centre. Si on tourne le disque de   de tour, quelle est la longueur de l’arc décrit par la pièce de monnaie? Exercice 5 : Dans un cercle dont le rayon est de 6cm, l’angle au centre COD mesure 1 radian. a) Quel est le périmètre du secteur COD? b) Quelle est l’aire de uploads/Litterature/ notes-trigonometrie.pdf